微积分学示例

$\sin (h (x)) = \frac{e^{x} - e^{- x}}{2}$

解题步骤 1

将 $h$ 乘以 $x$ 。

$\sin (h x) = \frac{e^{x} - e^{- x}}{2}$

解题步骤 2

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (\sin (h x)) = \frac{d}{d x} (\frac{e^{x} - e^{- x}}{2})$

解题步骤 3

对方程左边求微分。

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解题步骤 3.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = h x$ 。

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解题步骤 3.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $h x$ 。

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [h x]$

解题步骤 3.1.2

$\sin (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\cos (u)$ 。

$\cos (u) \frac{d}{d x} [h x]$

解题步骤 3.1.3

使用 $h x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\cos (h x) \frac{d}{d x} [h x]$

解题步骤 3.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = h$ 且 $g (x) = x$ 。

$\cos (h x) (h \frac{d}{d x} [x] + x \frac{d}{d x} [h])$

解题步骤 3.3

使用幂法则求微分。

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解题步骤 3.3.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\cos (h x) (h \cdot 1 + x \frac{d}{d x} [h])$

解题步骤 3.3.2

将 $h$ 乘以 $1$ 。

$\cos (h x) (h + x \frac{d}{d x} [h])$

解题步骤 3.4

将 $\frac{d}{d x} [h]$ 重写为 $h'$ 。

$\cos (h x) (h + x h')$

解题步骤 3.5

化简。

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解题步骤 3.5.1

运用分配律。

$\cos (h x) h + \cos (h x) (x h')$

解题步骤 3.5.2

重新排序项。

$h \cos (h x) + x \cos (h x) h'$

解题步骤 4

对方程右边求微分。

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解题步骤 4.1

求微分。

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解题步骤 4.1.1

因为 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{e^{x} - e^{- x}}{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [e^{x} - e^{- x}]$ 。

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [e^{x} - e^{- x}]$

解题步骤 4.1.2

根据加法法则， $e^{x} - e^{- x}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{- x}])$

解题步骤 4.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$\frac{1}{2} (e^{x} + \frac{d}{d x} [- e^{- x}])$

解题步骤 4.3

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- e^{- x}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ 。

$\frac{1}{2} (e^{x} - \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

解题步骤 4.4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = - x$ 。

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解题步骤 4.4.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $- x$ 。

$\frac{1}{2} (e^{x} - (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]))$

解题步骤 4.4.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$\frac{1}{2} (e^{x} - (e^{u} \frac{d}{d x} [- x]))$

解题步骤 4.4.3

使用 $- x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{2} (e^{x} - (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]))$

解题步骤 4.5

求微分。

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解题步骤 4.5.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{1}{2} (e^{x} - e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]))$

解题步骤 4.5.2

乘。

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解题步骤 4.5.2.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1}{2} (e^{x} + 1 e^{- x} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.5.2.2

将 $e^{- x}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2} (e^{x} + e^{- x} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.5.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{2} (e^{x} + e^{- x} \cdot 1)$

解题步骤 4.5.4

将 $e^{- x}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2} (e^{x} + e^{- x})$

解题步骤 4.6

化简。

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解题步骤 4.6.1

运用分配律。

$\frac{1}{2} e^{x} + \frac{1}{2} e^{- x}$

解题步骤 4.6.2

化简每一项。

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解题步骤 4.6.2.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $e^{x}$ 。

$\frac{e^{x}}{2} + \frac{1}{2} e^{- x}$

解题步骤 4.6.2.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $e^{- x}$ 。

$\frac{e^{x}}{2} + \frac{e^{- x}}{2}$

解题步骤 5

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$h \cos (h x) + x \cos (h x) h' = \frac{e^{x}}{2} + \frac{e^{- x}}{2}$

解题步骤 6

求解 $h'$ 。

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解题步骤 6.1

化简左边。

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解题步骤 6.1.1

将 $h \cos (h x) + x \cos (h x) h'$ 中的因式重新排序。

$h \cos (h x) + x h' \cos (h x) = \frac{e^{x}}{2} + \frac{e^{- x}}{2}$

解题步骤 6.2

从等式两边同时减去 $h \cos (h x)$ 。

$x h' \cos (h x) = \frac{e^{x}}{2} + \frac{e^{- x}}{2} - h \cos (h x)$

解题步骤 6.3

将 $x h' \cos (h x) = \frac{e^{x}}{2} + \frac{e^{- x}}{2} - h \cos (h x)$ 中的每一项除以 $x \cos (h x)$ 并化简。

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解题步骤 6.3.1

将 $x h' \cos (h x) = \frac{e^{x}}{2} + \frac{e^{- x}}{2} - h \cos (h x)$ 中的每一项都除以 $x \cos (h x)$ 。

$\frac{x h' \cos (h x)}{x \cos (h x)} = \frac{\frac{e^{x}}{2}}{x \cos (h x)} + \frac{\frac{e^{- x}}{2}}{x \cos (h x)} + \frac{- h \cos (h x)}{x \cos (h x)}$

解题步骤 6.3.2

化简左边。

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解题步骤 6.3.2.1

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{x h' \cos (h x)}{x \cos (h x)} = \frac{\frac{e^{x}}{2}}{x \cos (h x)} + \frac{\frac{e^{- x}}{2}}{x \cos (h x)} + \frac{- h \cos (h x)}{x \cos (h x)}$

解题步骤 6.3.2.1.2

重写表达式。

$\frac{h' \cos (h x)}{\cos (h x)} = \frac{\frac{e^{x}}{2}}{x \cos (h x)} + \frac{\frac{e^{- x}}{2}}{x \cos (h x)} + \frac{- h \cos (h x)}{x \cos (h x)}$

解题步骤 6.3.2.2

约去 $\cos (h x)$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.2.2.1

约去公因数。

$\frac{h' \cos (h x)}{\cos (h x)} = \frac{\frac{e^{x}}{2}}{x \cos (h x)} + \frac{\frac{e^{- x}}{2}}{x \cos (h x)} + \frac{- h \cos (h x)}{x \cos (h x)}$

解题步骤 6.3.2.2.2

用 $h'$ 除以 $1$ 。

$h' = \frac{\frac{e^{x}}{2}}{x \cos (h x)} + \frac{\frac{e^{- x}}{2}}{x \cos (h x)} + \frac{- h \cos (h x)}{x \cos (h x)}$

解题步骤 6.3.3

化简右边。

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解题步骤 6.3.3.1

化简每一项。

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解题步骤 6.3.3.1.1

分离分数。

$h' = \frac{\frac{e^{x}}{2}}{x} \cdot \frac{1}{\cos (h x)} + \frac{\frac{e^{- x}}{2}}{x \cos (h x)} + \frac{- h \cos (h x)}{x \cos (h x)}$

解题步骤 6.3.3.1.2

将 $\frac{1}{\cos (h x)}$ 转换成 $\sec (h x)$ 。

$h' = \frac{\frac{e^{x}}{2}}{x} \sec (h x) + \frac{\frac{e^{- x}}{2}}{x \cos (h x)} + \frac{- h \cos (h x)}{x \cos (h x)}$

解题步骤 6.3.3.1.3

将分子乘以分母的倒数。

$h' = \frac{e^{x}}{2} \cdot \frac{1}{x} \sec (h x) + \frac{\frac{e^{- x}}{2}}{x \cos (h x)} + \frac{- h \cos (h x)}{x \cos (h x)}$

解题步骤 6.3.3.1.4

合并。

$h' = \frac{e^{x} \cdot 1}{2 x} \sec (h x) + \frac{\frac{e^{- x}}{2}}{x \cos (h x)} + \frac{- h \cos (h x)}{x \cos (h x)}$

解题步骤 6.3.3.1.5

将 $e^{x}$ 乘以 $1$ 。

$h' = \frac{e^{x}}{2 x} \sec (h x) + \frac{\frac{e^{- x}}{2}}{x \cos (h x)} + \frac{- h \cos (h x)}{x \cos (h x)}$

解题步骤 6.3.3.1.6

组合 $\frac{e^{x}}{2 x}$ 和 $\sec (h x)$ 。

$h' = \frac{e^{x} \sec (h x)}{2 x} + \frac{\frac{e^{- x}}{2}}{x \cos (h x)} + \frac{- h \cos (h x)}{x \cos (h x)}$

解题步骤 6.3.3.1.7

分离分数。

$h' = \frac{e^{x} \sec (h x)}{2 x} + \frac{\frac{e^{- x}}{2}}{x} \cdot \frac{1}{\cos (h x)} + \frac{- h \cos (h x)}{x \cos (h x)}$

解题步骤 6.3.3.1.8

将 $\frac{1}{\cos (h x)}$ 转换成 $\sec (h x)$ 。

$h' = \frac{e^{x} \sec (h x)}{2 x} + \frac{\frac{e^{- x}}{2}}{x} \sec (h x) + \frac{- h \cos (h x)}{x \cos (h x)}$

解题步骤 6.3.3.1.9

将分子乘以分母的倒数。

$h' = \frac{e^{x} \sec (h x)}{2 x} + \frac{e^{- x}}{2} \cdot \frac{1}{x} \sec (h x) + \frac{- h \cos (h x)}{x \cos (h x)}$

解题步骤 6.3.3.1.10

合并。

$h' = \frac{e^{x} \sec (h x)}{2 x} + \frac{e^{- x} \cdot 1}{2 x} \sec (h x) + \frac{- h \cos (h x)}{x \cos (h x)}$

解题步骤 6.3.3.1.11

将 $e^{- x}$ 乘以 $1$ 。

$h' = \frac{e^{x} \sec (h x)}{2 x} + \frac{e^{- x}}{2 x} \sec (h x) + \frac{- h \cos (h x)}{x \cos (h x)}$

解题步骤 6.3.3.1.12

组合 $\frac{e^{- x}}{2 x}$ 和 $\sec (h x)$ 。

$h' = \frac{e^{x} \sec (h x)}{2 x} + \frac{e^{- x} \sec (h x)}{2 x} + \frac{- h \cos (h x)}{x \cos (h x)}$

解题步骤 6.3.3.1.13

约去 $\cos (h x)$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.3.1.13.1

约去公因数。

$h' = \frac{e^{x} \sec (h x)}{2 x} + \frac{e^{- x} \sec (h x)}{2 x} + \frac{- h \cos (h x)}{x \cos (h x)}$

解题步骤 6.3.3.1.13.2

重写表达式。

$h' = \frac{e^{x} \sec (h x)}{2 x} + \frac{e^{- x} \sec (h x)}{2 x} + \frac{- h}{x}$

解题步骤 6.3.3.1.14

将负号移到分数的前面。

$h' = \frac{e^{x} \sec (h x)}{2 x} + \frac{e^{- x} \sec (h x)}{2 x} - \frac{h}{x}$

解题步骤 7

使用 $\frac{d h}{d x}$ 替换 $h'$ 。

$\frac{d h}{d x} = \frac{e^{x} \sec (h x)}{2 x} + \frac{e^{- x} \sec (h x)}{2 x} - \frac{h}{x}$

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