微积分学示例

$f = 12 x + 4 y \cdot e^{\frac{2 x}{7 y}}$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (f) = \frac{d}{d x} (12 x + 4 y \cdot e^{\frac{2 x}{7 y}})$

解题步骤 2

$f$ 对 $x$ 的导数为 $f'$ 。

$f'$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $12 x + 4 y \cdot e^{\frac{2 x}{7 y}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [4 y \cdot e^{\frac{2 x}{7 y}}]$ 。

$\frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [4 y \cdot e^{\frac{2 x}{7 y}}]$

解题步骤 3.2

计算 $\frac{d}{d x} [12 x]$ 。

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解题步骤 3.2.1

因为 $12$ 对于 $x$ 是常数，所以 $12 x$ 对 $x$ 的导数是 $12 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 y \cdot e^{\frac{2 x}{7 y}}]$

解题步骤 3.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4 y \cdot e^{\frac{2 x}{7 y}}]$

解题步骤 3.2.3

将 $12$ 乘以 $1$ 。

$12 + \frac{d}{d x} [4 y \cdot e^{\frac{2 x}{7 y}}]$

解题步骤 3.3

计算 $\frac{d}{d x} [4 y \cdot e^{\frac{2 x}{7 y}}]$ 。

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解题步骤 3.3.1

因为 $4 y$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 y e^{\frac{2 x}{7 y}}$ 对 $x$ 的导数是 $4 y \frac{d}{d x} [e^{\frac{2 x}{7 y}}]$ 。

$12 + 4 y \frac{d}{d x} [e^{\frac{2 x}{7 y}}]$

解题步骤 3.3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = \frac{2 x}{7 y}$ 。

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解题步骤 3.3.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\frac{2 x}{7 y}$ 。

$12 + 4 y (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\frac{2 x}{7 y}])$

解题步骤 3.3.2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$12 + 4 y (e^{u} \frac{d}{d x} [\frac{2 x}{7 y}])$

解题步骤 3.3.2.3

使用 $\frac{2 x}{7 y}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$12 + 4 y (e^{\frac{2 x}{7 y}} \frac{d}{d x} [\frac{2 x}{7 y}])$

解题步骤 3.3.3

因为 $\frac{2}{7 y}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{2 x}{7 y}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{2}{7 y} \frac{d}{d x} [x]$ 。

$12 + 4 y (e^{\frac{2 x}{7 y}} (\frac{2}{7 y} \frac{d}{d x} [x]))$

解题步骤 3.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$12 + 4 y (e^{\frac{2 x}{7 y}} (\frac{2}{7 y} \cdot 1))$

解题步骤 3.3.5

将 $\frac{2}{7 y}$ 乘以 $1$ 。

$12 + 4 y (e^{\frac{2 x}{7 y}} \frac{2}{7 y})$

解题步骤 3.3.6

组合 $e^{\frac{2 x}{7 y}}$ 和 $\frac{2}{7 y}$ 。

$12 + 4 y \frac{e^{\frac{2 x}{7 y}} \cdot 2}{7 y}$

解题步骤 3.3.7

将 $2$ 移到 $e^{\frac{2 x}{7 y}}$ 的左侧。

$12 + 4 y \frac{2 \cdot e^{\frac{2 x}{7 y}}}{7 y}$

解题步骤 3.3.8

组合 $4$ 和 $\frac{2 e^{\frac{2 x}{7 y}}}{7 y}$ 。

$12 + y \frac{4 (2 e^{\frac{2 x}{7 y}})}{7 y}$

解题步骤 3.3.9

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$12 + y \frac{8 e^{\frac{2 x}{7 y}}}{7 y}$

解题步骤 3.3.10

组合 $y$ 和 $\frac{8 e^{\frac{2 x}{7 y}}}{7 y}$ 。

$12 + \frac{y (8 e^{\frac{2 x}{7 y}})}{7 y}$

解题步骤 3.3.11

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.11.1

约去公因数。

$12 + \frac{y (8 e^{\frac{2 x}{7 y}})}{7 y}$

解题步骤 3.3.11.2

重写表达式。

$12 + \frac{8 e^{\frac{2 x}{7 y}}}{7}$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$f' = 12 + \frac{8 e^{\frac{2 x}{7 y}}}{7}$

解题步骤 5

使用 $\frac{d f}{d x}$ 替换 $f'$ 。

$\frac{d f}{d x} = 12 + \frac{8 e^{\frac{2 x}{7 y}}}{7}$

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