微积分学示例

$\frac{4 f^{2} P}{1 - f^{2}} = K$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d P} (\frac{4 f^{2} P}{1 - f^{2}}) = \frac{d}{d P} (K)$

解题步骤 2

对方程左边求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

化简分母。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\frac{d}{d P} [\frac{4 f^{2} P}{1^{2} - f^{2}}]$

解题步骤 2.1.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 1$ 和 $b = f$ 。

$\frac{d}{d P} [\frac{4 f^{2} P}{(1 + f) (1 - f)}]$

解题步骤 2.2

因为 $4$ 对于 $P$ 是常数，所以 $\frac{4 f^{2} P}{(1 + f) (1 - f)}$ 对 $P$ 的导数是 $4 \frac{d}{d P} [\frac{f^{2} P}{(1 + f) (1 - f)}]$ 。

$4 \frac{d}{d P} [\frac{f^{2} P}{(1 + f) (1 - f)}]$

解题步骤 2.3

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d P} [\frac{f (P)}{g (P)}]$ 等于 $\frac{g (P) \frac{d}{d P} [f (P)] - f (P) \frac{d}{d P} [g (P)]}{{g (P)}^{2}}$ ，其中 $f (P) = f^{2} P$ 且 $g (P) = (1 + f) (1 - f)$ 。

$4 \frac{(1 + f) (1 - f) \frac{d}{d P} [f^{2} P] - f^{2} P \frac{d}{d P} [(1 + f) (1 - f)]}{{((1 + f) (1 - f))}^{2}}$

解题步骤 2.4

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d P} [f (P) g (P)]$ 等于 $f (P) \frac{d}{d P} [g (P)] + g (P) \frac{d}{d P} [f (P)]$ ，其中 $f (P) = f^{2}$ 且 $g (P) = P$ 。

$4 \frac{(1 + f) (1 - f) (f^{2} \frac{d}{d P} [P] + P \frac{d}{d P} [f^{2}]) - f^{2} P \frac{d}{d P} [(1 + f) (1 - f)]}{{((1 + f) (1 - f))}^{2}}$

解题步骤 2.5

使用幂法则求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.5.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d P} [P^{n}]$ 等于 $n P^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$4 \frac{(1 + f) (1 - f) (f^{2} \cdot 1 + P \frac{d}{d P} [f^{2}]) - f^{2} P \frac{d}{d P} [(1 + f) (1 - f)]}{{((1 + f) (1 - f))}^{2}}$

解题步骤 2.5.2

将 $f^{2}$ 乘以 $1$ 。

$4 \frac{(1 + f) (1 - f) (f^{2} + P \frac{d}{d P} [f^{2}]) - f^{2} P \frac{d}{d P} [(1 + f) (1 - f)]}{{((1 + f) (1 - f))}^{2}}$

解题步骤 2.6

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d P} [f (g (P))]$ 等于 $f' (g (P)) g' (P)$ ，其中 $f (P) = P^{2}$ 且 $g (P) = f$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.6.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $f$ 。

$4 \frac{(1 + f) (1 - f) (f^{2} + P (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d P} [f])) - f^{2} P \frac{d}{d P} [(1 + f) (1 - f)]}{{((1 + f) (1 - f))}^{2}}$

解题步骤 2.6.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$4 \frac{(1 + f) (1 - f) (f^{2} + P (2 u \frac{d}{d P} [f])) - f^{2} P \frac{d}{d P} [(1 + f) (1 - f)]}{{((1 + f) (1 - f))}^{2}}$

解题步骤 2.6.3

使用 $f$ 替换所有出现的 $u$ 。

$4 \frac{(1 + f) (1 - f) (f^{2} + P (2 f \frac{d}{d P} [f])) - f^{2} P \frac{d}{d P} [(1 + f) (1 - f)]}{{((1 + f) (1 - f))}^{2}}$

解题步骤 2.7

将 $2$ 移到 $P$ 的左侧。

$4 \frac{(1 + f) (1 - f) (f^{2} + 2 \cdot P f \frac{d}{d P} [f]) - f^{2} P \frac{d}{d P} [(1 + f) (1 - f)]}{{((1 + f) (1 - f))}^{2}}$

解题步骤 2.8

将 $\frac{d}{d P} [f]$ 重写为 $f'$ 。

$4 \frac{(1 + f) (1 - f) (f^{2} + 2 P f f') - f^{2} P \frac{d}{d P} [(1 + f) (1 - f)]}{{((1 + f) (1 - f))}^{2}}$

解题步骤 2.9

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d P} [f (P) g (P)]$ 等于 $f (P) \frac{d}{d P} [g (P)] + g (P) \frac{d}{d P} [f (P)]$ ，其中 $f (P) = 1 + f$ 且 $g (P) = 1 - f$ 。

$4 \frac{(1 + f) (1 - f) (f^{2} + 2 P f f') - f^{2} P ((1 + f) \frac{d}{d P} [1 - f] + (1 - f) \frac{d}{d P} [1 + f])}{{((1 + f) (1 - f))}^{2}}$

解题步骤 2.10

求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.10.1

根据加法法则， $1 - f$ 对 $P$ 的导数是 $\frac{d}{d P} [1] + \frac{d}{d P} [- f]$ 。

$4 \frac{(1 + f) (1 - f) (f^{2} + 2 P f f') - f^{2} P ((1 + f) (\frac{d}{d P} [1] + \frac{d}{d P} [- f]) + (1 - f) \frac{d}{d P} [1 + f])}{{((1 + f) (1 - f))}^{2}}$

解题步骤 2.10.2

因为 $1$ 对于 $P$ 是常数，所以 $1$ 对 $P$ 的导数为 $0$ 。

$4 \frac{(1 + f) (1 - f) (f^{2} + 2 P f f') - f^{2} P ((1 + f) (0 + \frac{d}{d P} [- f]) + (1 - f) \frac{d}{d P} [1 + f])}{{((1 + f) (1 - f))}^{2}}$

解题步骤 2.10.3

将 $0$ 和 $\frac{d}{d P} [- f]$ 相加。

$4 \frac{(1 + f) (1 - f) (f^{2} + 2 P f f') - f^{2} P ((1 + f) \frac{d}{d P} [- f] + (1 - f) \frac{d}{d P} [1 + f])}{{((1 + f) (1 - f))}^{2}}$

解题步骤 2.10.4

因为 $- 1$ 对于 $P$ 是常数，所以 $- f$ 对 $P$ 的导数是 $- \frac{d}{d P} [f]$ 。

$4 \frac{(1 + f) (1 - f) (f^{2} + 2 P f f') - f^{2} P ((1 + f) (- \frac{d}{d P} [f]) + (1 - f) \frac{d}{d P} [1 + f])}{{((1 + f) (1 - f))}^{2}}$

解题步骤 2.11

将 $\frac{d}{d P} [f]$ 重写为 $f'$ 。

$4 \frac{(1 + f) (1 - f) (f^{2} + 2 P f f') - f^{2} P ((1 + f) (- f') + (1 - f) \frac{d}{d P} [1 + f])}{{((1 + f) (1 - f))}^{2}}$

解题步骤 2.12

根据加法法则， $1 + f$ 对 $P$ 的导数是 $\frac{d}{d P} [1] + \frac{d}{d P} [f]$ 。

$4 \frac{(1 + f) (1 - f) (f^{2} + 2 P f f') - f^{2} P ((1 + f) (- f') + (1 - f) (\frac{d}{d P} [1] + \frac{d}{d P} [f]))}{{((1 + f) (1 - f))}^{2}}$

解题步骤 2.13

因为 $1$ 对于 $P$ 是常数，所以 $1$ 对 $P$ 的导数为 $0$ 。

$4 \frac{(1 + f) (1 - f) (f^{2} + 2 P f f') - f^{2} P ((1 + f) (- f') + (1 - f) (0 + \frac{d}{d P} [f]))}{{((1 + f) (1 - f))}^{2}}$

解题步骤 2.14

将 $0$ 和 $\frac{d}{d P} [f]$ 相加。

$4 \frac{(1 + f) (1 - f) (f^{2} + 2 P f f') - f^{2} P ((1 + f) (- f') + (1 - f) \frac{d}{d P} [f])}{{((1 + f) (1 - f))}^{2}}$

解题步骤 2.15

将 $\frac{d}{d P} [f]$ 重写为 $f'$ 。

$4 \frac{(1 + f) (1 - f) (f^{2} + 2 P f f') - f^{2} P ((1 + f) (- f') + (1 - f) f')}{{((1 + f) (1 - f))}^{2}}$

解题步骤 2.16

组合 $4$ 和 $\frac{(1 + f) (1 - f) (f^{2} + 2 P f f') - f^{2} P ((1 + f) (- f') + (1 - f) f')}{{((1 + f) (1 - f))}^{2}}$ 。

$\frac{4 ((1 + f) (1 - f) (f^{2} + 2 P f f') - f^{2} P ((1 + f) (- f') + (1 - f) f'))}{{((1 + f) (1 - f))}^{2}}$

解题步骤 2.17

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.17.1

对 $(1 + f) (1 - f)$ 运用乘积法则。

$\frac{4 ((1 + f) (1 - f) (f^{2} + 2 P f f') - f^{2} P ((1 + f) (- f') + (1 - f) f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

解题步骤 2.17.2

运用分配律。

$\frac{4 ((1 + f) (1 - f) (f^{2} + 2 P f f') - f^{2} P (1 (- f') + f (- f') + (1 - f) f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

解题步骤 2.17.3

运用分配律。

$\frac{4 ((1 + f) (1 - f) (f^{2} + 2 P f f') - f^{2} P (1 (- f') + f (- f') + 1 f' - f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

解题步骤 2.17.4

运用分配律。

$\frac{4 ((1 + f) (1 - f) (f^{2} + 2 P f f') - f^{2} P (1 (- f')) - f^{2} P (f (- f')) - f^{2} P (1 f') - f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

解题步骤 2.17.5

运用分配律。

$\frac{4 ((1 + f) (1 - f) (f^{2} + 2 P f f')) + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

解题步骤 2.17.6

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.17.6.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.17.6.1.1

使用 FOIL 方法展开 $(1 + f) (1 - f)$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.17.6.1.1.1

运用分配律。

$\frac{4 ((1 (1 - f) + f (1 - f)) (f^{2} + 2 P f f')) + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

解题步骤 2.17.6.1.1.2

运用分配律。

$\frac{4 ((1 \cdot 1 + 1 (- f) + f (1 - f)) (f^{2} + 2 P f f')) + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

解题步骤 2.17.6.1.1.3

运用分配律。

$\frac{4 ((1 \cdot 1 + 1 (- f) + f \cdot 1 + f (- f)) (f^{2} + 2 P f f')) + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

解题步骤 2.17.6.1.2

化简并合并同类项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.17.6.1.2.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.17.6.1.2.1.1

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{4 ((1 + 1 (- f) + f \cdot 1 + f (- f)) (f^{2} + 2 P f f')) + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

解题步骤 2.17.6.1.2.1.2

将 $- f$ 乘以 $1$ 。

$\frac{4 ((1 - f + f \cdot 1 + f (- f)) (f^{2} + 2 P f f')) + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

解题步骤 2.17.6.1.2.1.3

将 $f$ 乘以 $1$ 。

$\frac{4 ((1 - f + f + f (- f)) (f^{2} + 2 P f f')) + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

解题步骤 2.17.6.1.2.1.4

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{4 ((1 - f + f - f \cdot f) (f^{2} + 2 P f f')) + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

解题步骤 2.17.6.1.2.1.5

通过指数相加将 $f$ 乘以 $f$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.17.6.1.2.1.5.1

移动 $f$ 。

$\frac{4 ((1 - f + f - (f \cdot f)) (f^{2} + 2 P f f')) + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

解题步骤 2.17.6.1.2.1.5.2

将 $f$ 乘以 $f$ 。

$\frac{4 ((1 - f + f - f^{2}) (f^{2} + 2 P f f')) + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

解题步骤 2.17.6.1.2.2

将 $- f$ 和 $f$ 相加。

$\frac{4 ((1 + 0 - f^{2}) (f^{2} + 2 P f f')) + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

解题步骤 2.17.6.1.2.3

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{4 ((1 - f^{2}) (f^{2} + 2 P f f')) + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

解题步骤 2.17.6.1.3

使用 FOIL 方法展开 $(1 - f^{2}) (f^{2} + 2 P f f')$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.17.6.1.3.1

运用分配律。

$\frac{4 (1 (f^{2} + 2 P f f') - f^{2} (f^{2} + 2 P f f')) + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

解题步骤 2.17.6.1.3.2

运用分配律。

$\frac{4 (1 f^{2} + 1 (2 P f f') - f^{2} (f^{2} + 2 P f f')) + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

解题步骤 2.17.6.1.3.3

运用分配律。

$\frac{4 (1 f^{2} + 1 (2 P f f') - f^{2} f^{2} - f^{2} (2 P f f')) + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

解题步骤 2.17.6.1.4

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.17.6.1.4.1

将 $f^{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{4 (f^{2} + 1 (2 P f f') - f^{2} f^{2} - f^{2} (2 P f f')) + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

解题步骤 2.17.6.1.4.2

将 $2 P f f'$ 乘以 $1$ 。

$\frac{4 (f^{2} + 2 P f f' - f^{2} f^{2} - f^{2} (2 P f f')) + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

解题步骤 2.17.6.1.4.3

通过指数相加将 $f^{2}$ 乘以 $f^{2}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.17.6.1.4.3.1

移动 $f^{2}$ 。

$\frac{4 (f^{2} + 2 P f f' - (f^{2} f^{2}) - f^{2} (2 P f f')) + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

解题步骤 2.17.6.1.4.3.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{4 (f^{2} + 2 P f f' - f^{2 + 2} - f^{2} (2 P f f')) + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

解题步骤 2.17.6.1.4.3.3

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$\frac{4 (f^{2} + 2 P f f' - f^{4} - f^{2} (2 P f f')) + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

解题步骤 2.17.6.1.4.4

通过指数相加将 $f^{2}$ 乘以 $f$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.17.6.1.4.4.1

移动 $f$ 。

$\frac{4 (f^{2} + 2 P f f' - f^{4} - (f \cdot f^{2}) (2 P f')) + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

解题步骤 2.17.6.1.4.4.2

将 $f$ 乘以 $f^{2}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.17.6.1.4.4.2.1

对 $f$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{4 (f^{2} + 2 P f f' - f^{4} - (f^{1} f^{2}) (2 P f')) + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

解题步骤 2.17.6.1.4.4.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{4 (f^{2} + 2 P f f' - f^{4} - f^{1 + 2} (2 P f')) + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

解题步骤 2.17.6.1.4.4.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{4 (f^{2} + 2 P f f' - f^{4} - f^{3} (2 P f')) + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

解题步骤 2.17.6.1.4.5

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{4 (f^{2} + 2 P f f' - f^{4} - 2 f^{3} (P f')) + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

解题步骤 2.17.6.1.5

运用分配律。

$\frac{4 f^{2} + 4 (2 P f f') + 4 (- f^{4}) + 4 (- 2 f^{3} (P f')) + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

解题步骤 2.17.6.1.6

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.17.6.1.6.1

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$\frac{4 f^{2} + 8 (P f f') + 4 (- f^{4}) + 4 (- 2 f^{3} (P f')) + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

解题步骤 2.17.6.1.6.2

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$\frac{4 f^{2} + 8 (P f f') - 4 f^{4} + 4 (- 2 f^{3} (P f')) + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

解题步骤 2.17.6.1.6.3

将 $- 2$ 乘以 $4$ 。

$\frac{4 f^{2} + 8 (P f f') - 4 f^{4} - 8 (f^{3} (P f')) + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

解题步骤 2.17.6.1.7

去掉圆括号。

$\frac{4 f^{2} + 8 P f f' - 4 f^{4} - 8 f^{3} (P f') + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

解题步骤 2.17.6.1.8

将 $- f'$ 乘以 $1$ 。

$\frac{4 f^{2} + 8 P f f' - 4 f^{4} - 8 f^{3} (P f') + 4 (- f^{2} P (- f')) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

解题步骤 2.17.6.1.9

乘以 $- f^{2} P (- f')$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.17.6.1.9.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{4 f^{2} + 8 P f f' - 4 f^{4} - 8 f^{3} (P f') + 4 (1 f^{2} P f') + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

解题步骤 2.17.6.1.9.2

将 $f^{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{4 f^{2} + 8 P f f' - 4 f^{4} - 8 f^{3} (P f') + 4 (f^{2} P f') + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

解题步骤 2.17.6.1.10

通过指数相加将 $f^{2}$ 乘以 $f$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.17.6.1.10.1

移动 $f$ 。

$\frac{4 f^{2} + 8 P f f' - 4 f^{4} - 8 f^{3} (P f') + 4 f^{2} P f' + 4 (- (f \cdot f^{2}) P (- f')) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

解题步骤 2.17.6.1.10.2

将 $f$ 乘以 $f^{2}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.17.6.1.10.2.1

对 $f$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{4 f^{2} + 8 P f f' - 4 f^{4} - 8 f^{3} (P f') + 4 f^{2} P f' + 4 (- (f^{1} f^{2}) P (- f')) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

解题步骤 2.17.6.1.10.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{4 f^{2} + 8 P f f' - 4 f^{4} - 8 f^{3} (P f') + 4 f^{2} P f' + 4 (- f^{1 + 2} P (- f')) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

解题步骤 2.17.6.1.10.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{4 f^{2} + 8 P f f' - 4 f^{4} - 8 f^{3} (P f') + 4 f^{2} P f' + 4 (- f^{3} P (- f')) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

解题步骤 2.17.6.1.11

乘以 $- f^{3} P (- f')$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.17.6.1.11.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{4 f^{2} + 8 P f f' - 4 f^{4} - 8 f^{3} (P f') + 4 f^{2} P f' + 4 (1 f^{3} P f') + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

解题步骤 2.17.6.1.11.2

将 $f^{3}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{4 f^{2} + 8 P f f' - 4 f^{4} - 8 f^{3} (P f') + 4 f^{2} P f' + 4 (f^{3} P f') + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

解题步骤 2.17.6.1.12

将 $f'$ 乘以 $1$ 。

$\frac{4 f^{2} + 8 P f f' - 4 f^{4} - 8 f^{3} (P f') + 4 f^{2} P f' + 4 f^{3} P f' + 4 (- f^{2} P f') + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

解题步骤 2.17.6.1.13

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$\frac{4 f^{2} + 8 P f f' - 4 f^{4} - 8 f^{3} (P f') + 4 f^{2} P f' + 4 f^{3} P f' - 4 (f^{2} P f') + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

解题步骤 2.17.6.1.14

通过指数相加将 $f^{2}$ 乘以 $f$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.17.6.1.14.1

移动 $f$ 。

$\frac{4 f^{2} + 8 P f f' - 4 f^{4} - 8 f^{3} (P f') + 4 f^{2} P f' + 4 f^{3} P f' - 4 f^{2} P f' + 4 (- (f \cdot f^{2}) P (- 1 f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

解题步骤 2.17.6.1.14.2

将 $f$ 乘以 $f^{2}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.17.6.1.14.2.1

对 $f$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{4 f^{2} + 8 P f f' - 4 f^{4} - 8 f^{3} (P f') + 4 f^{2} P f' + 4 f^{3} P f' - 4 f^{2} P f' + 4 (- (f^{1} f^{2}) P (- 1 f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

解题步骤 2.17.6.1.14.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{4 f^{2} + 8 P f f' - 4 f^{4} - 8 f^{3} (P f') + 4 f^{2} P f' + 4 f^{3} P f' - 4 f^{2} P f' + 4 (- f^{1 + 2} P (- 1 f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

解题步骤 2.17.6.1.14.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{4 f^{2} + 8 P f f' - 4 f^{4} - 8 f^{3} (P f') + 4 f^{2} P f' + 4 f^{3} P f' - 4 f^{2} P f' + 4 (- f^{3} P (- 1 f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

解题步骤 2.17.6.1.15

将 $- 1 f'$ 重写为 $- f'$ 。

$\frac{4 f^{2} + 8 P f f' - 4 f^{4} - 8 f^{3} (P f') + 4 f^{2} P f' + 4 f^{3} P f' - 4 f^{2} P f' + 4 (- f^{3} P (- f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

解题步骤 2.17.6.1.16

乘以 $- f^{3} P (- f')$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.17.6.1.16.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{4 f^{2} + 8 P f f' - 4 f^{4} - 8 f^{3} (P f') + 4 f^{2} P f' + 4 f^{3} P f' - 4 f^{2} P f' + 4 (1 f^{3} P f')}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

解题步骤 2.17.6.1.16.2

将 $f^{3}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{4 f^{2} + 8 P f f' - 4 f^{4} - 8 f^{3} (P f') + 4 f^{2} P f' + 4 f^{3} P f' - 4 f^{2} P f' + 4 (f^{3} P f')}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

$\frac{4 f^{2} + 8 P f f' - 4 f^{4} - 8 f^{3} (P f') + 4 f^{2} P f' + 4 f^{3} P f' - 4 f^{2} P f' + 4 f^{3} P f'}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

解题步骤 2.17.6.2

合并 $4 f^{2} + 8 P f f' - 4 f^{4} - 8 f^{3} (P f') + 4 f^{2} P f' + 4 f^{3} P f' - 4 f^{2} P f' + 4 f^{3} P f'$ 中相反的项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.17.6.2.1

从 $4 f^{2} P f'$ 中减去 $4 f^{2} P f'$ 。

$\frac{4 f^{2} + 8 P f f' - 4 f^{4} - 8 f^{3} (P f') + 4 f^{3} P f' + 0 + 4 f^{3} P f'}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

解题步骤 2.17.6.2.2

将 $4 f^{2} + 8 P f f' - 4 f^{4} - 8 f^{3} (P f') + 4 f^{3} P f'$ 和 $0$ 相加。

$\frac{4 f^{2} + 8 P f f' - 4 f^{4} - 8 f^{3} (P f') + 4 f^{3} P f' + 4 f^{3} P f'}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

解题步骤 2.17.6.3

将 $- 8 f^{3} P f'$ 和 $4 f^{3} P f'$ 相加。

$\frac{4 f^{2} + 8 P f f' - 4 f^{4} - 4 f^{3} P f' + 4 f^{3} P f'}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

解题步骤 2.17.6.4

合并 $4 f^{2} + 8 P f f' - 4 f^{4} - 4 f^{3} P f' + 4 f^{3} P f'$ 中相反的项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.17.6.4.1

将 $- 4 f^{3} P f'$ 和 $4 f^{3} P f'$ 相加。

$\frac{4 f^{2} + 8 P f f' - 4 f^{4} + 0}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

解题步骤 2.17.6.4.2

将 $4 f^{2} + 8 P f f' - 4 f^{4}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{4 f^{2} + 8 P f f' - 4 f^{4}}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

解题步骤 2.17.7

重新排序项。

$\frac{- 4 f^{4} + 4 f^{2} + 8 P f f'}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

解题步骤 2.17.8

从 $- 4 f^{4} + 4 f^{2} + 8 P f f'$ 中分解出因数 $4 f$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.17.8.1

从 $- 4 f^{4}$ 中分解出因数 $4 f$ 。

$\frac{4 f (- f^{3}) + 4 f^{2} + 8 P f f'}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

解题步骤 2.17.8.2

从 $4 f^{2}$ 中分解出因数 $4 f$ 。

$\frac{4 f (- f^{3}) + 4 f (f) + 8 P f f'}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

解题步骤 2.17.8.3

从 $8 P f f'$ 中分解出因数 $4 f$ 。

$\frac{4 f (- f^{3}) + 4 f (f) + 4 f (2 P f')}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

解题步骤 2.17.8.4

从 $4 f (- f^{3}) + 4 f (f)$ 中分解出因数 $4 f$ 。

$\frac{4 f (- f^{3} + f) + 4 f (2 P f')}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

解题步骤 2.17.8.5

从 $4 f (- f^{3} + f) + 4 f (2 P f')$ 中分解出因数 $4 f$ 。

$\frac{4 f (- f^{3} + f + 2 P f')}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

解题步骤 2.17.9

从 $- f^{3}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{4 f (- (f^{3}) + f + 2 P f')}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

解题步骤 2.17.10

从 $f$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{4 f (- (f^{3}) - 1 (- f) + 2 P f')}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

解题步骤 2.17.11

从 $- (f^{3}) - 1 (- f)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{4 f (- (f^{3} - f) + 2 P f')}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

解题步骤 2.17.12

从 $2 P f'$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{4 f (- (f^{3} - f) - (- 2 P f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

解题步骤 2.17.13

从 $- (f^{3} - f) - (- 2 P f')$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{4 f (- (f^{3} - f - 2 P f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

解题步骤 2.17.14

将 $- (f^{3} - f - 2 P f')$ 重写为 $- 1 (f^{3} - f - 2 P f')$ 。

$\frac{4 f (- 1 (f^{3} - f - 2 P f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

解题步骤 2.17.15

将负号移到分数的前面。

$- \frac{(4 f) (f^{3} - f - 2 P f')}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

解题步骤 2.17.16

将 $- \frac{(4 f) (f^{3} - f - 2 P f')}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$ 中的因式重新排序。

$- \frac{4 f (f^{3} - f - 2 P f')}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

解题步骤 3

因为 $K$ 对于 $P$ 是常数，所以 $K$ 对 $P$ 的导数为 $0$ 。

$0$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$- \frac{4 f (f^{3} - f - 2 P f')}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}} = 0$

解题步骤 5

求解 $f'$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1

将分子设为等于零。

$4 f (f^{3} - f - 2 P f') = 0$

解题步骤 5.2

求解 $f'$ 的方程。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.1

将 $4 f (f^{3} - f - 2 P f') = 0$ 中的每一项除以 $4 f$ 并化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.1.1

将 $4 f (f^{3} - f - 2 P f') = 0$ 中的每一项都除以 $4 f$ 。

$\frac{4 f (f^{3} - f - 2 P f')}{4 f} = \frac{0}{4 f}$

解题步骤 5.2.1.2

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.1.2.1

约去 $4$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.1.2.1.1

约去公因数。

$\frac{4 f (f^{3} - f - 2 P f')}{4 f} = \frac{0}{4 f}$

解题步骤 5.2.1.2.1.2

重写表达式。

$\frac{f (f^{3} - f - 2 P f')}{f} = \frac{0}{4 f}$

解题步骤 5.2.1.2.2

约去 $f$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.1.2.2.1

约去公因数。

$\frac{f (f^{3} - f - 2 P f')}{f} = \frac{0}{4 f}$

解题步骤 5.2.1.2.2.2

用 $f^{3} - f - 2 P f'$ 除以 $1$ 。

$f^{3} - f - 2 P f' = \frac{0}{4 f}$

解题步骤 5.2.1.3

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.1.3.1

约去 $0$ 和 $4$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.1.3.1.1

从 $0$ 中分解出因数 $4$ 。

$f^{3} - f - 2 P f' = \frac{4 (0)}{4 f}$

解题步骤 5.2.1.3.1.2

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.1.3.1.2.1

从 $4 f$ 中分解出因数 $4$ 。

$f^{3} - f - 2 P f' = \frac{4 (0)}{4 (f)}$

解题步骤 5.2.1.3.1.2.2

约去公因数。

$f^{3} - f - 2 P f' = \frac{4 \cdot 0}{4 f}$

解题步骤 5.2.1.3.1.2.3

重写表达式。

$f^{3} - f - 2 P f' = \frac{0}{f}$

解题步骤 5.2.1.3.2

用 $0$ 除以 $f$ 。

$f^{3} - f - 2 P f' = 0$

解题步骤 5.2.2

将所有不包含 $f'$ 的项移到等式右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.2.1

从等式两边同时减去 $f^{3}$ 。

$- f - 2 P f' = - f^{3}$

解题步骤 5.2.2.2

在等式两边都加上 $f$ 。

$- 2 P f' = - f^{3} + f$

解题步骤 5.2.3

将 $- 2 P f' = - f^{3} + f$ 中的每一项除以 $- 2 P$ 并化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.3.1

将 $- 2 P f' = - f^{3} + f$ 中的每一项都除以 $- 2 P$ 。

$\frac{- 2 P f'}{- 2 P} = \frac{- f^{3}}{- 2 P} + \frac{f}{- 2 P}$

解题步骤 5.2.3.2

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.3.2.1

约去 $- 2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{- 2 P f'}{- 2 P} = \frac{- f^{3}}{- 2 P} + \frac{f}{- 2 P}$

解题步骤 5.2.3.2.1.2

重写表达式。

$\frac{P f'}{P} = \frac{- f^{3}}{- 2 P} + \frac{f}{- 2 P}$

解题步骤 5.2.3.2.2

约去 $P$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.3.2.2.1

约去公因数。

$\frac{P f'}{P} = \frac{- f^{3}}{- 2 P} + \frac{f}{- 2 P}$

解题步骤 5.2.3.2.2.2

用 $f'$ 除以 $1$ 。

$f' = \frac{- f^{3}}{- 2 P} + \frac{f}{- 2 P}$

解题步骤 5.2.3.3

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.3.3.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.3.3.1.1

将两个负数相除得到一个正数。

$f' = \frac{f^{3}}{2 P} + \frac{f}{- 2 P}$

解题步骤 5.2.3.3.1.2

将负号移到分数的前面。

$f' = \frac{f^{3}}{2 P} - \frac{f}{2 P}$

解题步骤 6

使用 $\frac{d f}{d P}$ 替换 $f'$ 。

$\frac{d f}{d P} = \frac{f^{3}}{2 P} - \frac{f}{2 P}$

微积分学 示例

微积分学示例