微积分学示例

$p = \frac{1000 - 10 x}{40 - x}$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (p) = \frac{d}{d x} (\frac{1000 - 10 x}{40 - x})$

解题步骤 2

$p$ 对 $x$ 的导数为 $p'$ 。

$p'$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = 1000 - 10 x$ 且 $g (x) = 40 - x$ 。

$\frac{(40 - x) \frac{d}{d x} [1000 - 10 x] - (1000 - 10 x) \frac{d}{d x} [40 - x]}{{(40 - x)}^{2}}$

解题步骤 3.2

求微分。

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解题步骤 3.2.1

根据加法法则， $1000 - 10 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1000] + \frac{d}{d x} [- 10 x]$ 。

$\frac{(40 - x) (\frac{d}{d x} [1000] + \frac{d}{d x} [- 10 x]) - (1000 - 10 x) \frac{d}{d x} [40 - x]}{{(40 - x)}^{2}}$

解题步骤 3.2.2

因为 $1000$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1000$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(40 - x) (0 + \frac{d}{d x} [- 10 x]) - (1000 - 10 x) \frac{d}{d x} [40 - x]}{{(40 - x)}^{2}}$

解题步骤 3.2.3

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- 10 x]$ 相加。

$\frac{(40 - x) \frac{d}{d x} [- 10 x] - (1000 - 10 x) \frac{d}{d x} [40 - x]}{{(40 - x)}^{2}}$

解题步骤 3.2.4

因为 $- 10$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 10 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 10 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{(40 - x) (- 10 \frac{d}{d x} [x]) - (1000 - 10 x) \frac{d}{d x} [40 - x]}{{(40 - x)}^{2}}$

解题步骤 3.2.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{(40 - x) (- 10 \cdot 1) - (1000 - 10 x) \frac{d}{d x} [40 - x]}{{(40 - x)}^{2}}$

解题步骤 3.2.6

化简表达式。

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解题步骤 3.2.6.1

将 $- 10$ 乘以 $1$ 。

$\frac{(40 - x) \cdot - 10 - (1000 - 10 x) \frac{d}{d x} [40 - x]}{{(40 - x)}^{2}}$

解题步骤 3.2.6.2

将 $- 10$ 移到 $40 - x$ 的左侧。

$\frac{- 10 \cdot (40 - x) - (1000 - 10 x) \frac{d}{d x} [40 - x]}{{(40 - x)}^{2}}$

解题步骤 3.2.7

根据加法法则， $40 - x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [40] + \frac{d}{d x} [- x]$ 。

$\frac{- 10 (40 - x) - (1000 - 10 x) (\frac{d}{d x} [40] + \frac{d}{d x} [- x])}{{(40 - x)}^{2}}$

解题步骤 3.2.8

因为 $40$ 对于 $x$ 是常数，所以 $40$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{- 10 (40 - x) - (1000 - 10 x) (0 + \frac{d}{d x} [- x])}{{(40 - x)}^{2}}$

解题步骤 3.2.9

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- x]$ 相加。

$\frac{- 10 (40 - x) - (1000 - 10 x) \frac{d}{d x} [- x]}{{(40 - x)}^{2}}$

解题步骤 3.2.10

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{- 10 (40 - x) - (1000 - 10 x) (- \frac{d}{d x} [x])}{{(40 - x)}^{2}}$

解题步骤 3.2.11

乘。

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解题步骤 3.2.11.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{- 10 (40 - x) + 1 (1000 - 10 x) \frac{d}{d x} [x]}{{(40 - x)}^{2}}$

解题步骤 3.2.11.2

将 $1000 - 10 x$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- 10 (40 - x) + (1000 - 10 x) \frac{d}{d x} [x]}{{(40 - x)}^{2}}$

解题步骤 3.2.12

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{- 10 (40 - x) + (1000 - 10 x) \cdot 1}{{(40 - x)}^{2}}$

解题步骤 3.2.13

将 $1000 - 10 x$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- 10 (40 - x) + 1000 - 10 x}{{(40 - x)}^{2}}$

解题步骤 3.3

化简。

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解题步骤 3.3.1

运用分配律。

$\frac{- 10 \cdot 40 - 10 (- x) + 1000 - 10 x}{{(40 - x)}^{2}}$

解题步骤 3.3.2

化简分子。

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解题步骤 3.3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.3.2.1.1

将 $- 10$ 乘以 $40$ 。

$\frac{- 400 - 10 (- x) + 1000 - 10 x}{{(40 - x)}^{2}}$

解题步骤 3.3.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $- 10$ 。

$\frac{- 400 + 10 x + 1000 - 10 x}{{(40 - x)}^{2}}$

解题步骤 3.3.2.2

合并 $- 400 + 10 x + 1000 - 10 x$ 中相反的项。

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解题步骤 3.3.2.2.1

从 $10 x$ 中减去 $10 x$ 。

$\frac{- 400 + 0 + 1000}{{(40 - x)}^{2}}$

解题步骤 3.3.2.2.2

将 $- 400$ 和 $0$ 相加。

$\frac{- 400 + 1000}{{(40 - x)}^{2}}$

解题步骤 3.3.2.3

将 $- 400$ 和 $1000$ 相加。

$\frac{600}{{(40 - x)}^{2}}$

解题步骤 3.3.3

重新排序项。

$\frac{600}{{(- x + 40)}^{2}}$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$p' = \frac{600}{{(- x + 40)}^{2}}$

解题步骤 5

使用 $\frac{d p}{d x}$ 替换 $p'$ 。

$\frac{d p}{d x} = \frac{600}{{(- x + 40)}^{2}}$

微积分学 示例

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