微积分学示例

$p = 4 q e^{q^{9}}$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d q} (p) = \frac{d}{d q} (4 q e^{q^{9}})$

解题步骤 2

$p$ 对 $q$ 的导数为 $p'$ 。

$p'$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

因为 $4$ 对于 $q$ 是常数，所以 $4 q e^{q^{9}}$ 对 $q$ 的导数是 $4 \frac{d}{d q} [q e^{q^{9}}]$ 。

$4 \frac{d}{d q} [q e^{q^{9}}]$

解题步骤 3.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d q} [f (q) g (q)]$ 等于 $f (q) \frac{d}{d q} [g (q)] + g (q) \frac{d}{d q} [f (q)]$ ，其中 $f (q) = q$ 且 $g (q) = e^{q^{9}}$ 。

$4 (q \frac{d}{d q} [e^{q^{9}}] + e^{q^{9}} \frac{d}{d q} [q])$

解题步骤 3.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d q} [f (g (q))]$ 等于 $f' (g (q)) g' (q)$ ，其中 $f (q) = e^{q}$ 且 $g (q) = q^{9}$ 。

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解题步骤 3.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $q^{9}$ 。

$4 (q (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d q} [q^{9}]) + e^{q^{9}} \frac{d}{d q} [q])$

解题步骤 3.3.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$4 (q (e^{u} \frac{d}{d q} [q^{9}]) + e^{q^{9}} \frac{d}{d q} [q])$

解题步骤 3.3.3

使用 $q^{9}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$4 (q (e^{q^{9}} \frac{d}{d q} [q^{9}]) + e^{q^{9}} \frac{d}{d q} [q])$

解题步骤 3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d q} [q^{n}]$ 等于 $n q^{n - 1}$ ，其中 $n = 9$ 。

$4 (q (e^{q^{9}} (9 q^{8})) + e^{q^{9}} \frac{d}{d q} [q])$

解题步骤 3.5

对 $q$ 进行 $1$ 次方运算。

$4 (q^{8} q^{1} (e^{q^{9}} \cdot (9)) + e^{q^{9}} \frac{d}{d q} [q])$

解题步骤 3.6

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$4 (q^{8 + 1} (e^{q^{9}} \cdot (9)) + e^{q^{9}} \frac{d}{d q} [q])$

解题步骤 3.7

化简表达式。

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解题步骤 3.7.1

将 $8$ 和 $1$ 相加。

$4 (q^{9} (e^{q^{9}} \cdot (9)) + e^{q^{9}} \frac{d}{d q} [q])$

解题步骤 3.7.2

将 $9$ 移到 $e^{q^{9}}$ 的左侧。

$4 (q^{9} (9 \cdot e^{q^{9}}) + e^{q^{9}} \frac{d}{d q} [q])$

解题步骤 3.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d q} [q^{n}]$ 等于 $n q^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$4 (q^{9} (9 e^{q^{9}}) + e^{q^{9}} \cdot 1)$

解题步骤 3.9

将 $e^{q^{9}}$ 乘以 $1$ 。

$4 (q^{9} (9 e^{q^{9}}) + e^{q^{9}})$

解题步骤 3.10

化简。

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解题步骤 3.10.1

运用分配律。

$4 (q^{9} (9 e^{q^{9}})) + 4 e^{q^{9}}$

解题步骤 3.10.2

将 $9$ 乘以 $4$ 。

$36 q^{9} e^{q^{9}} + 4 e^{q^{9}}$

解题步骤 3.10.3

重新排序项。

$36 e^{q^{9}} q^{9} + 4 e^{q^{9}}$

解题步骤 3.10.4

将 $36 e^{q^{9}} q^{9} + 4 e^{q^{9}}$ 中的因式重新排序。

$36 q^{9} e^{q^{9}} + 4 e^{q^{9}}$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$p' = 36 q^{9} e^{q^{9}} + 4 e^{q^{9}}$

解题步骤 5

使用 $\frac{d p}{d q}$ 替换 $p'$ 。

$\frac{d p}{d q} = 36 q^{9} e^{q^{9}} + 4 e^{q^{9}}$

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