微积分学示例

$p = \frac{10000}{q^{2} + 25}$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d q} (p) = \frac{d}{d q} (\frac{10000}{q^{2} + 25})$

解题步骤 2

$p$ 对 $q$ 的导数为 $p'$ 。

$p'$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

使用常数相乘法则求微分。

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解题步骤 3.1.1

因为 $10000$ 对于 $q$ 是常数，所以 $\frac{10000}{q^{2} + 25}$ 对 $q$ 的导数是 $10000 \frac{d}{d q} [\frac{1}{q^{2} + 25}]$ 。

$10000 \frac{d}{d q} [\frac{1}{q^{2} + 25}]$

解题步骤 3.1.2

将 $\frac{1}{q^{2} + 25}$ 重写为 ${(q^{2} + 25)}^{- 1}$ 。

$10000 \frac{d}{d q} [{(q^{2} + 25)}^{- 1}]$

解题步骤 3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d q} [f (g (q))]$ 等于 $f' (g (q)) g' (q)$ ，其中 $f (q) = q^{- 1}$ 且 $g (q) = q^{2} + 25$ 。

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解题步骤 3.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $q^{2} + 25$ 。

$10000 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d q} [q^{2} + 25])$

解题步骤 3.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$10000 (- u^{- 2} \frac{d}{d q} [q^{2} + 25])$

解题步骤 3.2.3

使用 $q^{2} + 25$ 替换所有出现的 $u$ 。

$10000 (- {(q^{2} + 25)}^{- 2} \frac{d}{d q} [q^{2} + 25])$

解题步骤 3.3

求微分。

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解题步骤 3.3.1

将 $- 1$ 乘以 $10000$ 。

$- 10000 ({(q^{2} + 25)}^{- 2} \frac{d}{d q} [q^{2} + 25])$

解题步骤 3.3.2

根据加法法则， $q^{2} + 25$ 对 $q$ 的导数是 $\frac{d}{d q} [q^{2}] + \frac{d}{d q} [25]$ 。

$- 10000 {(q^{2} + 25)}^{- 2} (\frac{d}{d q} [q^{2}] + \frac{d}{d q} [25])$

解题步骤 3.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d q} [q^{n}]$ 等于 $n q^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$- 10000 {(q^{2} + 25)}^{- 2} (2 q + \frac{d}{d q} [25])$

解题步骤 3.3.4

因为 $25$ 对于 $q$ 是常数，所以 $25$ 对 $q$ 的导数为 $0$ 。

$- 10000 {(q^{2} + 25)}^{- 2} (2 q + 0)$

解题步骤 3.3.5

化简表达式。

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解题步骤 3.3.5.1

将 $2 q$ 和 $0$ 相加。

$- 10000 {(q^{2} + 25)}^{- 2} (2 q)$

解题步骤 3.3.5.2

将 $2$ 乘以 $- 10000$ 。

$- 20000 {(q^{2} + 25)}^{- 2} q$

解题步骤 3.4

化简。

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解题步骤 3.4.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$- 20000 \frac{1}{{(q^{2} + 25)}^{2}} q$

解题步骤 3.4.2

合并项。

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解题步骤 3.4.2.1

组合 $- 20000$ 和 $\frac{1}{{(q^{2} + 25)}^{2}}$ 。

$\frac{- 20000}{{(q^{2} + 25)}^{2}} q$

解题步骤 3.4.2.2

将负号移到分数的前面。

$- \frac{20000}{{(q^{2} + 25)}^{2}} q$

解题步骤 3.4.2.3

组合 $q$ 和 $\frac{20000}{{(q^{2} + 25)}^{2}}$ 。

$- \frac{q \cdot 20000}{{(q^{2} + 25)}^{2}}$

解题步骤 3.4.2.4

将 $20000$ 移到 $q$ 的左侧。

$- \frac{20000 q}{{(q^{2} + 25)}^{2}}$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$p' = - \frac{20000 q}{{(q^{2} + 25)}^{2}}$

解题步骤 5

使用 $\frac{d p}{d q}$ 替换 $p'$ 。

$\frac{d p}{d q} = - \frac{20000 q}{{(q^{2} + 25)}^{2}}$

微积分学 示例

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