微积分学示例

$y = \frac{1}{x^{10}}$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

应用指数的基本规则。

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解题步骤 1.1.1

将 $\frac{1}{x^{10}}$ 重写为 ${(x^{10})}^{- 1}$ 。

$\frac{d}{d x} [{(x^{10})}^{- 1}]$

解题步骤 1.1.2

将 ${(x^{10})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 1.1.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{10 \cdot - 1}]$

解题步骤 1.1.2.2

将 $10$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{- 10}]$

解题步骤 1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - 10$ 。

$- 10 x^{- 11}$

解题步骤 1.3

化简。

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解题步骤 1.3.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$- 10 \frac{1}{x^{11}}$

解题步骤 1.3.2

合并项。

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解题步骤 1.3.2.1

组合 $- 10$ 和 $\frac{1}{x^{11}}$ 。

$\frac{- 10}{x^{11}}$

解题步骤 1.3.2.2

将负号移到分数的前面。

$f' (x) = - \frac{10}{x^{11}}$

解题步骤 2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1

因为 $- 10$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{10}{x^{11}}$ 对 $x$ 的导数是 $- 10 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{11}}]$ 。

$- 10 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{11}}]$

解题步骤 2.2

应用指数的基本规则。

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解题步骤 2.2.1

将 $\frac{1}{x^{11}}$ 重写为 ${(x^{11})}^{- 1}$ 。

$- 10 \frac{d}{d x} [{(x^{11})}^{- 1}]$

解题步骤 2.2.2

将 ${(x^{11})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.2.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- 10 \frac{d}{d x} [x^{11 \cdot - 1}]$

解题步骤 2.2.2.2

将 $11$ 乘以 $- 1$ 。

$- 10 \frac{d}{d x} [x^{- 11}]$

解题步骤 2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - 11$ 。

$- 10 (- 11 x^{- 12})$

解题步骤 2.4

将 $- 11$ 乘以 $- 10$ 。

$110 x^{- 12}$

解题步骤 2.5

化简。

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解题步骤 2.5.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$110 \frac{1}{x^{12}}$

解题步骤 2.5.2

组合 $110$ 和 $\frac{1}{x^{12}}$ 。

$f'' (x) = \frac{110}{x^{12}}$

解题步骤 3

求三阶导数。

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解题步骤 3.1

因为 $110$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{110}{x^{12}}$ 对 $x$ 的导数是 $110 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{12}}]$ 。

$110 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{12}}]$

解题步骤 3.2

应用指数的基本规则。

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解题步骤 3.2.1

将 $\frac{1}{x^{12}}$ 重写为 ${(x^{12})}^{- 1}$ 。

$110 \frac{d}{d x} [{(x^{12})}^{- 1}]$

解题步骤 3.2.2

将 ${(x^{12})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.2.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$110 \frac{d}{d x} [x^{12 \cdot - 1}]$

解题步骤 3.2.2.2

将 $12$ 乘以 $- 1$ 。

$110 \frac{d}{d x} [x^{- 12}]$

解题步骤 3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - 12$ 。

$110 (- 12 x^{- 13})$

解题步骤 3.4

将 $- 12$ 乘以 $110$ 。

$- 1320 x^{- 13}$

解题步骤 3.5

化简。

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解题步骤 3.5.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$- 1320 \frac{1}{x^{13}}$

解题步骤 3.5.2

合并项。

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解题步骤 3.5.2.1

组合 $- 1320$ 和 $\frac{1}{x^{13}}$ 。

$\frac{- 1320}{x^{13}}$

解题步骤 3.5.2.2

将负号移到分数的前面。

$f''' (x) = - \frac{1320}{x^{13}}$

解题步骤 4

求四阶导数。

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解题步骤 4.1

因为 $- 1320$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{1320}{x^{13}}$ 对 $x$ 的导数是 $- 1320 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{13}}]$ 。

$- 1320 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{13}}]$

解题步骤 4.2

应用指数的基本规则。

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解题步骤 4.2.1

将 $\frac{1}{x^{13}}$ 重写为 ${(x^{13})}^{- 1}$ 。

$- 1320 \frac{d}{d x} [{(x^{13})}^{- 1}]$

解题步骤 4.2.2

将 ${(x^{13})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.2.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- 1320 \frac{d}{d x} [x^{13 \cdot - 1}]$

解题步骤 4.2.2.2

将 $13$ 乘以 $- 1$ 。

$- 1320 \frac{d}{d x} [x^{- 13}]$

解题步骤 4.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - 13$ 。

$- 1320 (- 13 x^{- 14})$

解题步骤 4.4

将 $- 13$ 乘以 $- 1320$ 。

$17160 x^{- 14}$

解题步骤 4.5

化简。

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解题步骤 4.5.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$17160 \frac{1}{x^{14}}$

解题步骤 4.5.2

组合 $17160$ 和 $\frac{1}{x^{14}}$ 。

$f^{4} (x) = \frac{17160}{x^{14}}$

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