微积分学示例

$c = 0.001 q^{2} - 0.2 q + 11 + \frac{15000}{q}$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d q} (c) = \frac{d}{d q} (0.001 q^{2} - 0.2 q + 11 + \frac{15000}{q})$

解题步骤 2

$c$ 对 $q$ 的导数为 $c'$ 。

$c'$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $0.001 q^{2} - 0.2 q + 11 + \frac{15000}{q}$ 对 $q$ 的导数是 $\frac{d}{d q} [0.001 q^{2}] + \frac{d}{d q} [- 0.2 q] + \frac{d}{d q} [11] + \frac{d}{d q} [\frac{15000}{q}]$ 。

$\frac{d}{d q} [0.001 q^{2}] + \frac{d}{d q} [- 0.2 q] + \frac{d}{d q} [11] + \frac{d}{d q} [\frac{15000}{q}]$

解题步骤 3.2

计算 $\frac{d}{d q} [0.001 q^{2}]$ 。

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解题步骤 3.2.1

因为 $0.001$ 对于 $q$ 是常数，所以 $0.001 q^{2}$ 对 $q$ 的导数是 $0.001 \frac{d}{d q} [q^{2}]$ 。

$0.001 \frac{d}{d q} [q^{2}] + \frac{d}{d q} [- 0.2 q] + \frac{d}{d q} [11] + \frac{d}{d q} [\frac{15000}{q}]$

解题步骤 3.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d q} [q^{n}]$ 等于 $n q^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$0.001 (2 q) + \frac{d}{d q} [- 0.2 q] + \frac{d}{d q} [11] + \frac{d}{d q} [\frac{15000}{q}]$

解题步骤 3.2.3

将 $2$ 乘以 $0.001$ 。

$0.002 q + \frac{d}{d q} [- 0.2 q] + \frac{d}{d q} [11] + \frac{d}{d q} [\frac{15000}{q}]$

解题步骤 3.3

计算 $\frac{d}{d q} [- 0.2 q]$ 。

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解题步骤 3.3.1

因为 $- 0.2$ 对于 $q$ 是常数，所以 $- 0.2 q$ 对 $q$ 的导数是 $- 0.2 \frac{d}{d q} [q]$ 。

$0.002 q - 0.2 \frac{d}{d q} [q] + \frac{d}{d q} [11] + \frac{d}{d q} [\frac{15000}{q}]$

解题步骤 3.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d q} [q^{n}]$ 等于 $n q^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$0.002 q - 0.2 \cdot 1 + \frac{d}{d q} [11] + \frac{d}{d q} [\frac{15000}{q}]$

解题步骤 3.3.3

将 $- 0.2$ 乘以 $1$ 。

$0.002 q - 0.2 + \frac{d}{d q} [11] + \frac{d}{d q} [\frac{15000}{q}]$

解题步骤 3.4

因为 $11$ 对于 $q$ 是常数，所以 $11$ 对 $q$ 的导数为 $0$ 。

$0.002 q - 0.2 + 0 + \frac{d}{d q} [\frac{15000}{q}]$

解题步骤 3.5

计算 $\frac{d}{d q} [\frac{15000}{q}]$ 。

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解题步骤 3.5.1

因为 $15000$ 对于 $q$ 是常数，所以 $\frac{15000}{q}$ 对 $q$ 的导数是 $15000 \frac{d}{d q} [\frac{1}{q}]$ 。

$0.002 q - 0.2 + 0 + 15000 \frac{d}{d q} [\frac{1}{q}]$

解题步骤 3.5.2

将 $\frac{1}{q}$ 重写为 $q^{- 1}$ 。

$0.002 q - 0.2 + 0 + 15000 \frac{d}{d q} [q^{- 1}]$

解题步骤 3.5.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d q} [q^{n}]$ 等于 $n q^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$0.002 q - 0.2 + 0 + 15000 (- q^{- 2})$

解题步骤 3.5.4

将 $- 1$ 乘以 $15000$ 。

$0.002 q - 0.2 + 0 - 15000 q^{- 2}$

解题步骤 3.6

化简。

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解题步骤 3.6.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$0.002 q - 0.2 + 0 - 15000 \frac{1}{q^{2}}$

解题步骤 3.6.2

合并项。

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解题步骤 3.6.2.1

将 $0.002 q - 0.2$ 和 $0$ 相加。

$0.002 q - 0.2 - 15000 \frac{1}{q^{2}}$

解题步骤 3.6.2.2

组合 $- 15000$ 和 $\frac{1}{q^{2}}$ 。

$0.002 q - 0.2 + \frac{- 15000}{q^{2}}$

解题步骤 3.6.2.3

将负号移到分数的前面。

$0.002 q - 0.2 - \frac{15000}{q^{2}}$

解题步骤 3.6.3

重新排序项。

$0.002 q - \frac{15000}{q^{2}} - 0.2$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$c' = 0.002 q - \frac{15000}{q^{2}} - 0.2$

解题步骤 5

使用 $\frac{d c}{d q}$ 替换 $c'$ 。

$\frac{d c}{d q} = 0.002 q - \frac{15000}{q^{2}} - 0.2$

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