微积分学示例

$7 e^{- 0.2 t} (1 - 0.2 t)$

解题步骤 1

因为 $7$ 对于 $t$ 是常数，所以 $7 e^{- 0.2 t} (1 - 0.2 t)$ 对 $t$ 的导数是 $7 \frac{d}{d t} [e^{- 0.2 t} (1 - 0.2 t)]$ 。

$7 \frac{d}{d t} [e^{- 0.2 t} (1 - 0.2 t)]$

解题步骤 2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ 等于 $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ ，其中 $f (t) = e^{- 0.2 t}$ 且 $g (t) = 1 - 0.2 t$ 。

$7 (e^{- 0.2 t} \frac{d}{d t} [1 - 0.2 t] + (1 - 0.2 t) \frac{d}{d t} [e^{- 0.2 t}])$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $1 - 0.2 t$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- 0.2 t]$ 。

$7 (e^{- 0.2 t} (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- 0.2 t]) + (1 - 0.2 t) \frac{d}{d t} [e^{- 0.2 t}])$

解题步骤 3.2

因为 $1$ 对于 $t$ 是常数，所以 $1$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$7 (e^{- 0.2 t} (0 + \frac{d}{d t} [- 0.2 t]) + (1 - 0.2 t) \frac{d}{d t} [e^{- 0.2 t}])$

解题步骤 3.3

将 $0$ 和 $\frac{d}{d t} [- 0.2 t]$ 相加。

$7 (e^{- 0.2 t} \frac{d}{d t} [- 0.2 t] + (1 - 0.2 t) \frac{d}{d t} [e^{- 0.2 t}])$

解题步骤 3.4

因为 $- 0.2$ 对于 $t$ 是常数，所以 $- 0.2 t$ 对 $t$ 的导数是 $- 0.2 \frac{d}{d t} [t]$ 。

$7 (e^{- 0.2 t} (- 0.2 \frac{d}{d t} [t]) + (1 - 0.2 t) \frac{d}{d t} [e^{- 0.2 t}])$

解题步骤 3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$7 (e^{- 0.2 t} (- 0.2 \cdot 1) + (1 - 0.2 t) \frac{d}{d t} [e^{- 0.2 t}])$

解题步骤 3.6

化简表达式。

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解题步骤 3.6.1

将 $- 0.2$ 乘以 $1$ 。

$7 (e^{- 0.2 t} \cdot - 0.2 + (1 - 0.2 t) \frac{d}{d t} [e^{- 0.2 t}])$

解题步骤 3.6.2

将 $- 0.2$ 移到 $e^{- 0.2 t}$ 的左侧。

$7 (- 0.2 \cdot e^{- 0.2 t} + (1 - 0.2 t) \frac{d}{d t} [e^{- 0.2 t}])$

解题步骤 4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 等于 $f' (g (t)) g' (t)$ ，其中 $f (t) = e^{t}$ 且 $g (t) = - 0.2 t$ 。

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解题步骤 4.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $- 0.2 t$ 。

$7 (- 0.2 e^{- 0.2 t} + (1 - 0.2 t) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d t} [- 0.2 t]))$

解题步骤 4.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$7 (- 0.2 e^{- 0.2 t} + (1 - 0.2 t) (e^{u} \frac{d}{d t} [- 0.2 t]))$

解题步骤 4.3

使用 $- 0.2 t$ 替换所有出现的 $u$ 。

$7 (- 0.2 e^{- 0.2 t} + (1 - 0.2 t) (e^{- 0.2 t} \frac{d}{d t} [- 0.2 t]))$

解题步骤 5

求微分。

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解题步骤 5.1

因为 $- 0.2$ 对于 $t$ 是常数，所以 $- 0.2 t$ 对 $t$ 的导数是 $- 0.2 \frac{d}{d t} [t]$ 。

$7 (- 0.2 e^{- 0.2 t} + (1 - 0.2 t) e^{- 0.2 t} (- 0.2 \frac{d}{d t} [t]))$

解题步骤 5.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$7 (- 0.2 e^{- 0.2 t} + (1 - 0.2 t) e^{- 0.2 t} (- 0.2 \cdot 1))$

解题步骤 5.3

化简表达式。

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解题步骤 5.3.1

将 $- 0.2$ 乘以 $1$ 。

$7 (- 0.2 e^{- 0.2 t} + (1 - 0.2 t) e^{- 0.2 t} \cdot - 0.2)$

解题步骤 5.3.2

将 $- 0.2$ 移到 $(1 - 0.2 t) e^{- 0.2 t}$ 的左侧。

$7 (- 0.2 e^{- 0.2 t} - 0.2 \cdot ((1 - 0.2 t) e^{- 0.2 t}))$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

运用分配律。

$7 (- 0.2 e^{- 0.2 t} + (- 0.2 \cdot 1 - 0.2 (- 0.2 t)) e^{- 0.2 t})$

解题步骤 6.2

运用分配律。

$7 (- 0.2 e^{- 0.2 t} - 0.2 \cdot 1 e^{- 0.2 t} - 0.2 (- 0.2 t) e^{- 0.2 t})$

解题步骤 6.3

运用分配律。

$7 (- 0.2 e^{- 0.2 t}) + 7 (- 0.2 \cdot 1 e^{- 0.2 t}) + 7 (- 0.2 (- 0.2 t) e^{- 0.2 t})$

解题步骤 6.4

合并项。

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解题步骤 6.4.1

将 $- 0.2$ 乘以 $7$ 。

$- 1.4 e^{- 0.2 t} + 7 (- 0.2 \cdot 1 e^{- 0.2 t}) + 7 (- 0.2 (- 0.2 t) e^{- 0.2 t})$

解题步骤 6.4.2

将 $- 0.2$ 乘以 $1$ 。

$- 1.4 e^{- 0.2 t} + 7 (- 0.2 e^{- 0.2 t}) + 7 (- 0.2 (- 0.2 t) e^{- 0.2 t})$

解题步骤 6.4.3

将 $- 0.2$ 乘以 $7$ 。

$- 1.4 e^{- 0.2 t} - 1.4 e^{- 0.2 t} + 7 (- 0.2 (- 0.2 t) e^{- 0.2 t})$

解题步骤 6.4.4

将 $- 0.2$ 乘以 $- 0.2$ 。

$- 1.4 e^{- 0.2 t} - 1.4 e^{- 0.2 t} + 7 (0.04 t e^{- 0.2 t})$

解题步骤 6.4.5

将 $0.04$ 乘以 $7$ 。

$- 1.4 e^{- 0.2 t} - 1.4 e^{- 0.2 t} + 0.28 (t e^{- 0.2 t})$

解题步骤 6.4.6

从 $- 1.4 e^{- 0.2 t}$ 中减去 $1.4 e^{- 0.2 t}$ 。

$- 2.8 e^{- 0.2 t} + 0.28 t e^{- 0.2 t}$

解题步骤 6.5

重新排序项。

$0.28 e^{- 0.2 t} t - 2.8 e^{- 0.2 t}$

解题步骤 6.6

将 $0.28 e^{- 0.2 t} t - 2.8 e^{- 0.2 t}$ 中的因式重新排序。

$0.28 t e^{- 0.2 t} - 2.8 e^{- 0.2 t}$

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