微积分学示例

$y = \cos (a^{6} + x^{6})$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d a} [f (g (a))]$ 等于 $f' (g (a)) g' (a)$ ，其中 $f (a) = \cos (a)$ 且 $g (a) = a^{6} + x^{6}$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $a^{6} + x^{6}$ 。

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d a} [a^{6} + x^{6}]$

解题步骤 1.2

$\cos (u)$ 对 $u$ 的导数为 $- \sin (u)$ 。

$- \sin (u) \frac{d}{d a} [a^{6} + x^{6}]$

解题步骤 1.3

使用 $a^{6} + x^{6}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- \sin (a^{6} + x^{6}) \frac{d}{d a} [a^{6} + x^{6}]$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $a^{6} + x^{6}$ 对 $a$ 的导数是 $\frac{d}{d a} [a^{6}] + \frac{d}{d a} [x^{6}]$ 。

$- \sin (a^{6} + x^{6}) (\frac{d}{d a} [a^{6}] + \frac{d}{d a} [x^{6}])$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ 等于 $n a^{n - 1}$ ，其中 $n = 6$ 。

$- \sin (a^{6} + x^{6}) (6 a^{5} + \frac{d}{d a} [x^{6}])$

解题步骤 2.3

因为 $x^{6}$ 对于 $a$ 是常数，所以 $x^{6}$ 对 $a$ 的导数为 $0$ 。

$- \sin (a^{6} + x^{6}) (6 a^{5} + 0)$

解题步骤 2.4

将 $6 a^{5}$ 和 $0$ 相加。

$- \sin (a^{6} + x^{6}) (6 a^{5})$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

将 $6$ 乘以 $- 1$ 。

$- 6 \sin (a^{6} + x^{6}) a^{5}$

解题步骤 3.2

重新排序 $- 6 \sin (a^{6} + x^{6}) a^{5}$ 的因式。

$- 6 a^{5} \sin (a^{6} + x^{6})$

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