微积分学示例

${(\frac{b}{a + z^{2}})}^{9}$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d a} [f (g (a))]$ 等于 $f' (g (a)) g' (a)$ ，其中 $f (a) = a^{9}$ 且 $g (a) = \frac{b}{a + z^{2}}$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $\frac{b}{a + z^{2}}$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{9}] \frac{d}{d a} [\frac{b}{a + z^{2}}]$

解题步骤 1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 9$ 。

$9 {u_{1}}^{8} \frac{d}{d a} [\frac{b}{a + z^{2}}]$

解题步骤 1.3

使用 $\frac{b}{a + z^{2}}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$9 {(\frac{b}{a + z^{2}})}^{8} \frac{d}{d a} [\frac{b}{a + z^{2}}]$

解题步骤 2

使用常数相乘法则求微分。

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解题步骤 2.1

因为 $b$ 对于 $a$ 是常数，所以 $\frac{b}{a + z^{2}}$ 对 $a$ 的导数是 $b \frac{d}{d a} [\frac{1}{a + z^{2}}]$ 。

$9 {(\frac{b}{a + z^{2}})}^{8} (b \frac{d}{d a} [\frac{1}{a + z^{2}}])$

解题步骤 2.2

将 $\frac{1}{a + z^{2}}$ 重写为 ${(a + z^{2})}^{- 1}$ 。

$9 {(\frac{b}{a + z^{2}})}^{8} (b \frac{d}{d a} [{(a + z^{2})}^{- 1}])$

解题步骤 3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d a} [f (g (a))]$ 等于 $f' (g (a)) g' (a)$ ，其中 $f (a) = a^{- 1}$ 且 $g (a) = a + z^{2}$ 。

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解题步骤 3.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $a + z^{2}$ 。

$9 {(\frac{b}{a + z^{2}})}^{8} (b (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d a} [a + z^{2}]))$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$9 {(\frac{b}{a + z^{2}})}^{8} (b (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d a} [a + z^{2}]))$

解题步骤 3.3

使用 $a + z^{2}$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$9 {(\frac{b}{a + z^{2}})}^{8} (b (- {(a + z^{2})}^{- 2} \frac{d}{d a} [a + z^{2}]))$

解题步骤 4

求微分。

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解题步骤 4.1

根据加法法则， $a + z^{2}$ 对 $a$ 的导数是 $\frac{d}{d a} [a] + \frac{d}{d a} [z^{2}]$ 。

$9 {(\frac{b}{a + z^{2}})}^{8} (b (- {(a + z^{2})}^{- 2} (\frac{d}{d a} [a] + \frac{d}{d a} [z^{2}])))$

解题步骤 4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ 等于 $n a^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$9 {(\frac{b}{a + z^{2}})}^{8} (b (- {(a + z^{2})}^{- 2} (1 + \frac{d}{d a} [z^{2}])))$

解题步骤 4.3

因为 $z^{2}$ 对于 $a$ 是常数，所以 $z^{2}$ 对 $a$ 的导数为 $0$ 。

$9 {(\frac{b}{a + z^{2}})}^{8} (b (- {(a + z^{2})}^{- 2} (1 + 0)))$

解题步骤 4.4

化简表达式。

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解题步骤 4.4.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$9 {(\frac{b}{a + z^{2}})}^{8} (b (- {(a + z^{2})}^{- 2} \cdot 1))$

解题步骤 4.4.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$9 {(\frac{b}{a + z^{2}})}^{8} (b (- {(a + z^{2})}^{- 2}))$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$9 {(\frac{b}{a + z^{2}})}^{8} (b (- \frac{1}{{(a + z^{2})}^{2}}))$

解题步骤 5.2

组合 $b$ 和 $\frac{1}{{(a + z^{2})}^{2}}$ 。

$9 {(\frac{b}{a + z^{2}})}^{8} (- \frac{b}{{(a + z^{2})}^{2}})$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

对 $\frac{b}{a + z^{2}}$ 运用乘积法则。

$9 \frac{b^{8}}{{(a + z^{2})}^{8}} (- \frac{b}{{(a + z^{2})}^{2}})$

解题步骤 6.2

合并项。

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解题步骤 6.2.1

组合 $9$ 和 $\frac{b^{8}}{{(a + z^{2})}^{8}}$ 。

$\frac{9 b^{8}}{{(a + z^{2})}^{8}} (- \frac{b}{{(a + z^{2})}^{2}})$

解题步骤 6.2.2

将 $\frac{9 b^{8}}{{(a + z^{2})}^{8}}$ 乘以 $\frac{b}{{(a + z^{2})}^{2}}$ 。

$- \frac{9 b^{8} b}{{(a + z^{2})}^{8} {(a + z^{2})}^{2}}$

解题步骤 6.2.3

对 $b$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{9 (b^{1} b^{8})}{{(a + z^{2})}^{8} {(a + z^{2})}^{2}}$

解题步骤 6.2.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \frac{9 b^{1 + 8}}{{(a + z^{2})}^{8} {(a + z^{2})}^{2}}$

解题步骤 6.2.5

将 $1$ 和 $8$ 相加。

$- \frac{9 b^{9}}{{(a + z^{2})}^{8} {(a + z^{2})}^{2}}$

解题步骤 6.2.6

通过指数相加将 ${(a + z^{2})}^{8}$ 乘以 ${(a + z^{2})}^{2}$ 。

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解题步骤 6.2.6.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \frac{9 b^{9}}{{(a + z^{2})}^{8 + 2}}$

解题步骤 6.2.6.2

将 $8$ 和 $2$ 相加。

$- \frac{9 b^{9}}{{(a + z^{2})}^{10}}$

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