微积分学示例

$N (t) = - \frac{20000}{{(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2}}} + c$

解题步骤 1

根据加法法则， $- \frac{20000}{{(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2}}} + c$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [- \frac{20000}{{(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2}}}] + \frac{d}{d t} [c]$ 。

$\frac{d}{d t} [- \frac{20000}{{(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2}}}] + \frac{d}{d t} [c]$

解题步骤 2

计算 $\frac{d}{d t} [- \frac{20000}{{(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2}}}]$ 。

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解题步骤 2.1

因为 $- 20000$ 对于 $t$ 是常数，所以 $- \frac{20000}{{(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2}}}$ 对 $t$ 的导数是 $- 20000 \frac{d}{d t} [\frac{1}{{(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2}}}]$ 。

$- 20000 \frac{d}{d t} [\frac{1}{{(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2}}}] + \frac{d}{d t} [c]$

解题步骤 2.2

将 $\frac{1}{{(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2}}}$ 重写为 ${({(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 。

$- 20000 \frac{d}{d t} [{({(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}] + \frac{d}{d t} [c]$

解题步骤 2.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 等于 $f' (g (t)) g' (t)$ ，其中 $f (t) = t^{- 1}$ 且 $g (t) = {(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 2.3.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 ${(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$- 20000 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d t} [{(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2}}]) + \frac{d}{d t} [c]$

解题步骤 2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$- 20000 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d t} [{(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2}}]) + \frac{d}{d t} [c]$

解题步骤 2.3.3

使用 ${(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2}}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$- 20000 (- {({(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d t} [{(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2}}]) + \frac{d}{d t} [c]$

解题步骤 2.4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 等于 $f' (g (t)) g' (t)$ ，其中 $f (t) = t^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (t) = 1 + 0.2 t$ 。

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解题步骤 2.4.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $1 + 0.2 t$ 。

$- 20000 (- {({(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d t} [1 + 0.2 t])) + \frac{d}{d t} [c]$

解题步骤 2.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$- 20000 (- {({(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [1 + 0.2 t])) + \frac{d}{d t} [c]$

解题步骤 2.4.3

使用 $1 + 0.2 t$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$- 20000 (- {({(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} {(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [1 + 0.2 t])) + \frac{d}{d t} [c]$

解题步骤 2.5

根据加法法则， $1 + 0.2 t$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [0.2 t]$ 。

$- 20000 (- {({(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} {(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [0.2 t]))) + \frac{d}{d t} [c]$

解题步骤 2.6

因为 $1$ 对于 $t$ 是常数，所以 $1$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$- 20000 (- {({(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} {(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d t} [0.2 t]))) + \frac{d}{d t} [c]$

解题步骤 2.7

因为 $0.2$ 对于 $t$ 是常数，所以 $0.2 t$ 对 $t$ 的导数是 $0.2 \frac{d}{d t} [t]$ 。

$- 20000 (- {({(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} {(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + 0.2 \frac{d}{d t} [t]))) + \frac{d}{d t} [c]$

解题步骤 2.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 20000 (- {({(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} {(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + 0.2 \cdot 1))) + \frac{d}{d t} [c]$

解题步骤 2.9

将 ${({(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.9.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- 20000 (- {(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2} \cdot - 2} (\frac{1}{2} {(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + 0.2 \cdot 1))) + \frac{d}{d t} [c]$

解题步骤 2.9.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.9.2.1

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$- 20000 (- {(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{1}{2} {(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + 0.2 \cdot 1))) + \frac{d}{d t} [c]$

解题步骤 2.9.2.2

约去公因数。

$- 20000 (- {(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{1}{2} {(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + 0.2 \cdot 1))) + \frac{d}{d t} [c]$

解题步骤 2.9.2.3

重写表达式。

$- 20000 (- {(1 + 0.2 t)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + 0.2 \cdot 1))) + \frac{d}{d t} [c]$

解题步骤 2.10

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$- 20000 (- {(1 + 0.2 t)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 + 0.2 \cdot 1))) + \frac{d}{d t} [c]$

解题步骤 2.11

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$- 20000 (- {(1 + 0.2 t)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 + 0.2 \cdot 1))) + \frac{d}{d t} [c]$

解题步骤 2.12

在公分母上合并分子。

$- 20000 (- {(1 + 0.2 t)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(1 + 0.2 t)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 + 0.2 \cdot 1))) + \frac{d}{d t} [c]$

解题步骤 2.13

化简分子。

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解题步骤 2.13.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$- 20000 (- {(1 + 0.2 t)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(1 + 0.2 t)}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 + 0.2 \cdot 1))) + \frac{d}{d t} [c]$

解题步骤 2.13.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$- 20000 (- {(1 + 0.2 t)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(1 + 0.2 t)}^{\frac{- 1}{2}} (0 + 0.2 \cdot 1))) + \frac{d}{d t} [c]$

解题步骤 2.14

将负号移到分数的前面。

$- 20000 (- {(1 + 0.2 t)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(1 + 0.2 t)}^{- \frac{1}{2}} (0 + 0.2 \cdot 1))) + \frac{d}{d t} [c]$

解题步骤 2.15

将 $0.2$ 乘以 $1$ 。

$- 20000 (- {(1 + 0.2 t)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(1 + 0.2 t)}^{- \frac{1}{2}} (0 + 0.2))) + \frac{d}{d t} [c]$

解题步骤 2.16

将 $0$ 和 $0.2$ 相加。

$- 20000 (- {(1 + 0.2 t)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(1 + 0.2 t)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 0.2)) + \frac{d}{d t} [c]$

解题步骤 2.17

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(1 + 0.2 t)}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$- 20000 (- {(1 + 0.2 t)}^{- 1} (\frac{{(1 + 0.2 t)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 0.2)) + \frac{d}{d t} [c]$

解题步骤 2.18

组合 $\frac{{(1 + 0.2 t)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 和 $0.2$ 。

$- 20000 (- {(1 + 0.2 t)}^{- 1} \frac{{(1 + 0.2 t)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 0.2}{2}) + \frac{d}{d t} [c]$

解题步骤 2.19

将 $0.2$ 移到 ${(1 + 0.2 t)}^{- \frac{1}{2}}$ 的左侧。

$- 20000 (- {(1 + 0.2 t)}^{- 1} \frac{0.2 \cdot {(1 + 0.2 t)}^{- \frac{1}{2}}}{2}) + \frac{d}{d t} [c]$

解题步骤 2.20

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(1 + 0.2 t)}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$- 20000 (- {(1 + 0.2 t)}^{- 1} \frac{0.2}{2 {(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2}}}) + \frac{d}{d t} [c]$

解题步骤 2.21

组合 $\frac{0.2}{2 {(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2}}}$ 和 ${(1 + 0.2 t)}^{- 1}$ 。

$- 20000 (- \frac{0.2 {(1 + 0.2 t)}^{- 1}}{2 {(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2}}}) + \frac{d}{d t} [c]$

解题步骤 2.22

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(1 + 0.2 t)}^{- 1}$ 移动到分母。

$- 20000 (- \frac{0.2}{2 {(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2}} (1 + 0.2 t)}) + \frac{d}{d t} [c]$

解题步骤 2.23

通过指数相加将 ${(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $1 + 0.2 t$ 。

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解题步骤 2.23.1

移动 $1 + 0.2 t$ 。

$- 20000 (- \frac{0.2}{2 ((1 + 0.2 t) {(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2}})}) + \frac{d}{d t} [c]$

解题步骤 2.23.2

将 $1 + 0.2 t$ 乘以 ${(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 2.23.2.1

对 $1 + 0.2 t$ 进行 $1$ 次方运算。

$- 20000 (- \frac{0.2}{2 ({(1 + 0.2 t)}^{1} {(1 + 0.2 t)}^{\frac{1}{2}})}) + \frac{d}{d t} [c]$

解题步骤 2.23.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- 20000 (- \frac{0.2}{2 {(1 + 0.2 t)}^{1 + \frac{1}{2}}}) + \frac{d}{d t} [c]$

解题步骤 2.23.3

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$- 20000 (- \frac{0.2}{2 {(1 + 0.2 t)}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}) + \frac{d}{d t} [c]$

解题步骤 2.23.4

在公分母上合并分子。

$- 20000 (- \frac{0.2}{2 {(1 + 0.2 t)}^{\frac{2 + 1}{2}}}) + \frac{d}{d t} [c]$

解题步骤 2.23.5

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$- 20000 (- \frac{0.2}{2 {(1 + 0.2 t)}^{\frac{3}{2}}}) + \frac{d}{d t} [c]$

解题步骤 2.24

将 $- 1$ 乘以 $- 20000$ 。

$20000 \frac{0.2}{2 {(1 + 0.2 t)}^{\frac{3}{2}}} + \frac{d}{d t} [c]$

解题步骤 2.25

组合 $20000$ 和 $\frac{0.2}{2 {(1 + 0.2 t)}^{\frac{3}{2}}}$ 。

$\frac{20000 \cdot 0.2}{2 {(1 + 0.2 t)}^{\frac{3}{2}}} + \frac{d}{d t} [c]$

解题步骤 2.26

将 $20000$ 乘以 $0.2$ 。

$\frac{4000}{2 {(1 + 0.2 t)}^{\frac{3}{2}}} + \frac{d}{d t} [c]$

解题步骤 2.27

从 $4000$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot 2000}{2 {(1 + 0.2 t)}^{\frac{3}{2}}} + \frac{d}{d t} [c]$

解题步骤 2.28

约去公因数。

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解题步骤 2.28.1

从 $2 {(1 + 0.2 t)}^{\frac{3}{2}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot 2000}{2 ({(1 + 0.2 t)}^{\frac{3}{2}})} + \frac{d}{d t} [c]$

解题步骤 2.28.2

约去公因数。

$\frac{2 \cdot 2000}{2 {(1 + 0.2 t)}^{\frac{3}{2}}} + \frac{d}{d t} [c]$

解题步骤 2.28.3

重写表达式。

$\frac{2000}{{(1 + 0.2 t)}^{\frac{3}{2}}} + \frac{d}{d t} [c]$

解题步骤 3

因为 $c$ 对于 $t$ 是常数，所以 $c$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{2000}{{(1 + 0.2 t)}^{\frac{3}{2}}} + 0$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

将 $\frac{2000}{{(1 + 0.2 t)}^{\frac{3}{2}}}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{2000}{{(1 + 0.2 t)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 4.2

重新排序项。

$\frac{2000}{{(0.2 t + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

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