微积分学示例

$f (x) = {(14 x - x^{2})}^{3}$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{3}$ 且 $g (x) = 14 x - x^{2}$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $14 x - x^{2}$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [14 x - x^{2}]$

解题步骤 1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [14 x - x^{2}]$

解题步骤 1.3

使用 $14 x - x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$3 {(14 x - x^{2})}^{2} \frac{d}{d x} [14 x - x^{2}]$

解题步骤 2

根据加法法则， $14 x - x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [14 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 。

$3 {(14 x - x^{2})}^{2} (\frac{d}{d x} [14 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

解题步骤 3

计算 $\frac{d}{d x} [14 x]$ 。

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解题步骤 3.1

因为 $14$ 对于 $x$ 是常数，所以 $14 x$ 对 $x$ 的导数是 $14 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$3 {(14 x - x^{2})}^{2} (14 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$3 {(14 x - x^{2})}^{2} (14 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

解题步骤 3.3

将 $14$ 乘以 $1$ 。

$3 {(14 x - x^{2})}^{2} (14 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

解题步骤 4

计算 $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 。

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解题步骤 4.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$3 {(14 x - x^{2})}^{2} (14 - \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$3 {(14 x - x^{2})}^{2} (14 - (2 x))$

解题步骤 4.3

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$3 {(14 x - x^{2})}^{2} (14 - 2 x)$

解题步骤 5

重新排序项。

$3 {(14 x - x^{2})}^{2} (- 2 x + 14)$

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