微积分学示例

$f (x) = {(\frac{v}{v^{3} + 1})}^{6}$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d v} [f (g (v))]$ 等于 $f' (g (v)) g' (v)$ ，其中 $f (v) = v^{6}$ 且 $g (v) = \frac{v}{v^{3} + 1}$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\frac{v}{v^{3} + 1}$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{6}] \frac{d}{d v} [\frac{v}{v^{3} + 1}]$

解题步骤 1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 6$ 。

$6 u^{5} \frac{d}{d v} [\frac{v}{v^{3} + 1}]$

解题步骤 1.3

使用 $\frac{v}{v^{3} + 1}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$6 {(\frac{v}{v^{3} + 1})}^{5} \frac{d}{d v} [\frac{v}{v^{3} + 1}]$

解题步骤 2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d v} [\frac{f (v)}{g (v)}]$ 等于 $\frac{g (v) \frac{d}{d v} [f (v)] - f (v) \frac{d}{d v} [g (v)]}{{g (v)}^{2}}$ ，其中 $f (v) = v$ 且 $g (v) = v^{3} + 1$ 。

$6 {(\frac{v}{v^{3} + 1})}^{5} \frac{(v^{3} + 1) \frac{d}{d v} [v] - v \frac{d}{d v} [v^{3} + 1]}{{(v^{3} + 1)}^{2}}$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ 等于 $n v^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$6 {(\frac{v}{v^{3} + 1})}^{5} \frac{(v^{3} + 1) \cdot 1 - v \frac{d}{d v} [v^{3} + 1]}{{(v^{3} + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.2

将 $v^{3} + 1$ 乘以 $1$ 。

$6 {(\frac{v}{v^{3} + 1})}^{5} \frac{v^{3} + 1 - v \frac{d}{d v} [v^{3} + 1]}{{(v^{3} + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.3

根据加法法则， $v^{3} + 1$ 对 $v$ 的导数是 $\frac{d}{d v} [v^{3}] + \frac{d}{d v} [1]$ 。

$6 {(\frac{v}{v^{3} + 1})}^{5} \frac{v^{3} + 1 - v (\frac{d}{d v} [v^{3}] + \frac{d}{d v} [1])}{{(v^{3} + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ 等于 $n v^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$6 {(\frac{v}{v^{3} + 1})}^{5} \frac{v^{3} + 1 - v (3 v^{2} + \frac{d}{d v} [1])}{{(v^{3} + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.5

因为 $1$ 对于 $v$ 是常数，所以 $1$ 对 $v$ 的导数为 $0$ 。

$6 {(\frac{v}{v^{3} + 1})}^{5} \frac{v^{3} + 1 - v (3 v^{2} + 0)}{{(v^{3} + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.6

化简表达式。

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解题步骤 3.6.1

将 $3 v^{2}$ 和 $0$ 相加。

$6 {(\frac{v}{v^{3} + 1})}^{5} \frac{v^{3} + 1 - v (3 v^{2})}{{(v^{3} + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.6.2

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$6 {(\frac{v}{v^{3} + 1})}^{5} \frac{v^{3} + 1 - 3 v \cdot v^{2}}{{(v^{3} + 1)}^{2}}$

解题步骤 4

通过指数相加将 $v$ 乘以 $v^{2}$ 。

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解题步骤 4.1

移动 $v^{2}$ 。

$6 {(\frac{v}{v^{3} + 1})}^{5} \frac{v^{3} + 1 - 3 (v^{2} v)}{{(v^{3} + 1)}^{2}}$

解题步骤 4.2

将 $v^{2}$ 乘以 $v$ 。

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解题步骤 4.2.1

对 $v$ 进行 $1$ 次方运算。

$6 {(\frac{v}{v^{3} + 1})}^{5} \frac{v^{3} + 1 - 3 (v^{2} v^{1})}{{(v^{3} + 1)}^{2}}$

解题步骤 4.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$6 {(\frac{v}{v^{3} + 1})}^{5} \frac{v^{3} + 1 - 3 v^{2 + 1}}{{(v^{3} + 1)}^{2}}$

解题步骤 4.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$6 {(\frac{v}{v^{3} + 1})}^{5} \frac{v^{3} + 1 - 3 v^{3}}{{(v^{3} + 1)}^{2}}$

解题步骤 5

从 $v^{3}$ 中减去 $3 v^{3}$ 。

$6 {(\frac{v}{v^{3} + 1})}^{5} \frac{- 2 v^{3} + 1}{{(v^{3} + 1)}^{2}}$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

对 $\frac{v}{v^{3} + 1}$ 运用乘积法则。

$6 \frac{v^{5}}{{(v^{3} + 1)}^{5}} \frac{- 2 v^{3} + 1}{{(v^{3} + 1)}^{2}}$

解题步骤 6.2

合并项。

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解题步骤 6.2.1

组合 $6$ 和 $\frac{v^{5}}{{(v^{3} + 1)}^{5}}$ 。

$\frac{6 v^{5}}{{(v^{3} + 1)}^{5}} \cdot \frac{- 2 v^{3} + 1}{{(v^{3} + 1)}^{2}}$

解题步骤 6.2.2

将 $\frac{6 v^{5}}{{(v^{3} + 1)}^{5}}$ 乘以 $\frac{- 2 v^{3} + 1}{{(v^{3} + 1)}^{2}}$ 。

$\frac{6 v^{5} (- 2 v^{3} + 1)}{{(v^{3} + 1)}^{5} {(v^{3} + 1)}^{2}}$

解题步骤 6.2.3

通过指数相加将 ${(v^{3} + 1)}^{5}$ 乘以 ${(v^{3} + 1)}^{2}$ 。

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解题步骤 6.2.3.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{6 v^{5} (- 2 v^{3} + 1)}{{(v^{3} + 1)}^{5 + 2}}$

解题步骤 6.2.3.2

将 $5$ 和 $2$ 相加。

$\frac{6 v^{5} (- 2 v^{3} + 1)}{{(v^{3} + 1)}^{7}}$

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