微积分学示例

$2 x \cos (x^{2})$

解题步骤 1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x \cos (x^{2})$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x \cos (x^{2})]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [x \cos (x^{2})]$

解题步骤 2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = \cos (x^{2})$ 。

$2 (x \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})] + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \cos (x)$ 且 $g (x) = x^{2}$ 。

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解题步骤 3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2}$ 。

$2 (x (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.2

$\cos (u)$ 对 $u$ 的导数为 $- \sin (u)$ 。

$2 (x (- \sin (u) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.3

使用 $x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$2 (x (- \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4

使用幂法则求微分。

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解题步骤 4.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 (x (- \sin (x^{2}) (2 x)) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$2 (x (- 2 \sin (x^{2}) x) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 5

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$2 (x^{1} x (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 6

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$2 (x^{1} x^{1} (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 7

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$2 (x^{1 + 1} (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 8

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$2 (x^{2} (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 (x^{2} (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) \cdot 1)$

解题步骤 10

将 $\cos (x^{2})$ 乘以 $1$ 。

$2 (x^{2} (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}))$

解题步骤 11

化简。

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解题步骤 11.1

运用分配律。

$2 (x^{2} (- 2 \sin (x^{2}))) + 2 \cos (x^{2})$

解题步骤 11.2

将 $- 2$ 乘以 $2$ 。

$- 4 x^{2} \sin (x^{2}) + 2 \cos (x^{2})$

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