微积分学示例

$\frac{1}{{(25 - x^{2})}^{3}}$

解题步骤 1

应用指数的基本规则。

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解题步骤 1.1

将 $\frac{1}{{(25 - x^{2})}^{3}}$ 重写为 ${({(25 - x^{2})}^{3})}^{- 1}$ 。

$\frac{d}{d x} [{({(25 - x^{2})}^{3})}^{- 1}]$

解题步骤 1.2

将 ${({(25 - x^{2})}^{3})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 1.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{d}{d x} [{(25 - x^{2})}^{3 \cdot - 1}]$

解题步骤 1.2.2

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{d}{d x} [{(25 - x^{2})}^{- 3}]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 3}$ 且 $g (x) = 25 - x^{2}$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $25 - x^{2}$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{- 3}] \frac{d}{d x} [25 - x^{2}]$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - 3$ 。

$- 3 u^{- 4} \frac{d}{d x} [25 - x^{2}]$

解题步骤 2.3

使用 $25 - x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- 3 {(25 - x^{2})}^{- 4} \frac{d}{d x} [25 - x^{2}]$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $25 - x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [25] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 。

$- 3 {(25 - x^{2})}^{- 4} (\frac{d}{d x} [25] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

解题步骤 3.2

因为 $25$ 对于 $x$ 是常数，所以 $25$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- 3 {(25 - x^{2})}^{- 4} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

解题步骤 3.3

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 相加。

$- 3 {(25 - x^{2})}^{- 4} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

解题步骤 3.4

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$- 3 {(25 - x^{2})}^{- 4} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 3.5

将 $- 1$ 乘以 $- 3$ 。

$3 {(25 - x^{2})}^{- 4} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 3.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$3 {(25 - x^{2})}^{- 4} (2 x)$

解题步骤 3.7

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$6 {(25 - x^{2})}^{- 4} x$

解题步骤 4

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$6 \frac{1}{{(25 - x^{2})}^{4}} x$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

合并项。

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解题步骤 5.1.1

组合 $6$ 和 $\frac{1}{{(25 - x^{2})}^{4}}$ 。

$\frac{6}{{(25 - x^{2})}^{4}} x$

解题步骤 5.1.2

组合 $\frac{6}{{(25 - x^{2})}^{4}}$ 和 $x$ 。

$\frac{6 x}{{(25 - x^{2})}^{4}}$

解题步骤 5.2

重新排序项。

$\frac{6 x}{{(- x^{2} + 25)}^{4}}$

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