微积分学示例

${(\sec (x) + \tan (x))}^{5}$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{5}$ 且 $g (x) = \sec (x) + \tan (x)$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\sec (x) + \tan (x)$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d x} [\sec (x) + \tan (x)]$

解题步骤 1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 5$ 。

$5 u^{4} \frac{d}{d x} [\sec (x) + \tan (x)]$

解题步骤 1.3

使用 $\sec (x) + \tan (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$5 {(\sec (x) + \tan (x))}^{4} \frac{d}{d x} [\sec (x) + \tan (x)]$

解题步骤 2

根据加法法则， $\sec (x) + \tan (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ 。

$5 {(\sec (x) + \tan (x))}^{4} (\frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

解题步骤 3

$\sec (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\sec (x) \tan (x)$ 。

$5 {(\sec (x) + \tan (x))}^{4} (\sec (x) \tan (x) + \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

解题步骤 4

$\tan (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\sec^{2} (x)$ 。

$5 {(\sec (x) + \tan (x))}^{4} (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

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