微积分学示例

$\frac{3 z^{2} + 12 z - 9}{z^{4}}$

解题步骤 1

通过将 $z^{4}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\int (3 z^{2} + 12 z - 9) {(z^{4})}^{- 1} d z$

解题步骤 2

将 ${(z^{4})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int (3 z^{2} + 12 z - 9) z^{4 \cdot - 1} d z$

解题步骤 2.2

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$\int (3 z^{2} + 12 z - 9) z^{- 4} d z$

解题步骤 3

展开 $(3 z^{2} + 12 z - 9) z^{- 4}$ 。

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解题步骤 3.1

运用分配律。

$\int (3 z^{2} + 12 z) z^{- 4} - 9 z^{- 4} d z$

解题步骤 3.2

运用分配律。

$\int 3 z^{2} z^{- 4} + 12 z \cdot z^{- 4} - 9 z^{- 4} d z$

解题步骤 3.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int 3 z^{2 - 4} + 12 z \cdot z^{- 4} - 9 z^{- 4} d z$

解题步骤 3.4

从 $2$ 中减去 $4$ 。

$\int 3 z^{- 2} + 12 z \cdot z^{- 4} - 9 z^{- 4} d z$

解题步骤 3.5

对 $z$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int 3 z^{- 2} + 12 (z^{1} z^{- 4}) - 9 z^{- 4} d z$

解题步骤 3.6

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int 3 z^{- 2} + 12 z^{1 - 4} - 9 z^{- 4} d z$

解题步骤 3.7

从 $1$ 中减去 $4$ 。

$\int 3 z^{- 2} + 12 z^{- 3} - 9 z^{- 4} d z$

解题步骤 4

将单个积分拆分为多个积分。

$\int 3 z^{- 2} d z + \int 12 z^{- 3} d z + \int - 9 z^{- 4} d z$

解题步骤 5

由于 $3$ 对于 $z$ 是常数，所以将 $3$ 移到积分外。

$3 \int z^{- 2} d z + \int 12 z^{- 3} d z + \int - 9 z^{- 4} d z$

解题步骤 6

根据幂法则， $z^{- 2}$ 对 $z$ 的积分是 $- z^{- 1}$ 。

$3 (- z^{- 1} + C) + \int 12 z^{- 3} d z + \int - 9 z^{- 4} d z$

解题步骤 7

由于 $12$ 对于 $z$ 是常数，所以将 $12$ 移到积分外。

$3 (- z^{- 1} + C) + 12 \int z^{- 3} d z + \int - 9 z^{- 4} d z$

解题步骤 8

根据幂法则， $z^{- 3}$ 对 $z$ 的积分是 $- \frac{1}{2} z^{- 2}$ 。

$3 (- z^{- 1} + C) + 12 (- \frac{1}{2} z^{- 2} + C) + \int - 9 z^{- 4} d z$

解题步骤 9

化简。

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解题步骤 9.1

组合 $z^{- 2}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$3 (- z^{- 1} + C) + 12 (- \frac{z^{- 2}}{2} + C) + \int - 9 z^{- 4} d z$

解题步骤 9.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $z^{- 2}$ 移动到分母。

$3 (- z^{- 1} + C) + 12 (- \frac{1}{2 z^{2}} + C) + \int - 9 z^{- 4} d z$

解题步骤 10

由于 $- 9$ 对于 $z$ 是常数，所以将 $- 9$ 移到积分外。

$3 (- z^{- 1} + C) + 12 (- \frac{1}{2 z^{2}} + C) - 9 \int z^{- 4} d z$

解题步骤 11

根据幂法则， $z^{- 4}$ 对 $z$ 的积分是 $- \frac{1}{3} z^{- 3}$ 。

$3 (- z^{- 1} + C) + 12 (- \frac{1}{2 z^{2}} + C) - 9 (- \frac{1}{3} z^{- 3} + C)$

解题步骤 12

化简。

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解题步骤 12.1

化简。

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解题步骤 12.1.1

组合 $z^{- 3}$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$3 (- z^{- 1} + C) + 12 (- \frac{1}{2 z^{2}} + C) - 9 (- \frac{z^{- 3}}{3} + C)$

解题步骤 12.1.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $z^{- 3}$ 移动到分母。

$3 (- z^{- 1} + C) + 12 (- \frac{1}{2 z^{2}} + C) - 9 (- \frac{1}{3 z^{3}} + C)$

解题步骤 12.2

化简。

$- \frac{3}{z} - \frac{6}{z^{2}} - 9 (- \frac{1}{3 z^{3}}) + C$

解题步骤 12.3

化简。

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解题步骤 12.3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 9$ 。

$- \frac{3}{z} - \frac{6}{z^{2}} + 9 \frac{1}{3 z^{3}} + C$

解题步骤 12.3.2

组合 $9$ 和 $\frac{1}{3 z^{3}}$ 。

$- \frac{3}{z} - \frac{6}{z^{2}} + \frac{9}{3 z^{3}} + C$

解题步骤 12.3.3

约去 $9$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 12.3.3.1

从 $9$ 中分解出因数 $3$ 。

$- \frac{3}{z} - \frac{6}{z^{2}} + \frac{3 \cdot 3}{3 z^{3}} + C$

解题步骤 12.3.3.2

约去公因数。

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解题步骤 12.3.3.2.1

从 $3 z^{3}$ 中分解出因数 $3$ 。

$- \frac{3}{z} - \frac{6}{z^{2}} + \frac{3 \cdot 3}{3 (z^{3})} + C$

解题步骤 12.3.3.2.2

约去公因数。

$- \frac{3}{z} - \frac{6}{z^{2}} + \frac{3 \cdot 3}{3 z^{3}} + C$

解题步骤 12.3.3.2.3

重写表达式。

$- \frac{3}{z} - \frac{6}{z^{2}} + \frac{3}{z^{3}} + C$

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