微积分学示例

$\frac{- 21 x^{2}}{{(3 - 7 x^{3})}^{2}}$

解题步骤 1

将负号移到分数的前面。

$\int - \frac{21 x^{2}}{{(3 - 7 x^{3})}^{2}} d x$

解题步骤 2

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- \int \frac{21 x^{2}}{{(3 - 7 x^{3})}^{2}} d x$

解题步骤 3

由于 $21$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $21$ 移到积分外。

$- (21 \int \frac{x^{2}}{{(3 - 7 x^{3})}^{2}} d x)$

解题步骤 4

将 $21$ 乘以 $- 1$ 。

$- 21 \int \frac{x^{2}}{{(3 - 7 x^{3})}^{2}} d x$

解题步骤 5

使 $u = 3 - 7 x^{3}$ 。然后使 $d u = - 21 x^{2} d x$ ，以便 $- \frac{1}{21} d u = x^{2} d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 5.1

设 $u = 3 - 7 x^{3}$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 5.1.1

对 $3 - 7 x^{3}$ 求导。

$\frac{d}{d x} [3 - 7 x^{3}]$

解题步骤 5.1.2

求微分。

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解题步骤 5.1.2.1

根据加法法则， $3 - 7 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{3}]$ 。

$\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{3}]$

解题步骤 5.1.2.2

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d x} [- 7 x^{3}]$

解题步骤 5.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 7 x^{3}]$ 。

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解题步骤 5.1.3.1

因为 $- 7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 7 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $- 7 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$0 - 7 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 5.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$0 - 7 (3 x^{2})$

解题步骤 5.1.3.3

将 $3$ 乘以 $- 7$ 。

$0 - 21 x^{2}$

解题步骤 5.1.4

从 $0$ 中减去 $21 x^{2}$ 。

$- 21 x^{2}$

解题步骤 5.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$- 21 \int \frac{1}{u^{2}} \cdot \frac{1}{- 21} d u$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

将负号移到分数的前面。

$- 21 \int \frac{1}{u^{2}} (- \frac{1}{21}) d u$

解题步骤 6.2

将 $\frac{1}{u^{2}}$ 乘以 $\frac{1}{21}$ 。

$- 21 \int - \frac{1}{u^{2} \cdot 21} d u$

解题步骤 6.3

将 $21$ 移到 $u^{2}$ 的左侧。

$- 21 \int - \frac{1}{21 u^{2}} d u$

解题步骤 7

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- 21 (- \int \frac{1}{21 u^{2}} d u)$

解题步骤 8

将 $- 1$ 乘以 $- 21$ 。

$21 \int \frac{1}{21 u^{2}} d u$

解题步骤 9

由于 $\frac{1}{21}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{21}$ 移到积分外。

$21 (\frac{1}{21} \int \frac{1}{u^{2}} d u)$

解题步骤 10

化简表达式。

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解题步骤 10.1

化简。

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解题步骤 10.1.1

组合 $\frac{1}{21}$ 和 $21$ 。

$\frac{21}{21} \int \frac{1}{u^{2}} d u$

解题步骤 10.1.2

约去 $21$ 的公因数。

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解题步骤 10.1.2.1

约去公因数。

$\frac{21}{21} \int \frac{1}{u^{2}} d u$

解题步骤 10.1.2.2

重写表达式。

$1 \int \frac{1}{u^{2}} d u$

解题步骤 10.1.3

将 $\int \frac{1}{u^{2}} d u$ 乘以 $1$ 。

$\int \frac{1}{u^{2}} d u$

解题步骤 10.2

应用指数的基本规则。

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解题步骤 10.2.1

通过将 $u^{2}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\int {(u^{2})}^{- 1} d u$

解题步骤 10.2.2

将 ${(u^{2})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 10.2.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int u^{2 \cdot - 1} d u$

解题步骤 10.2.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\int u^{- 2} d u$

解题步骤 11

根据幂法则， $u^{- 2}$ 对 $u$ 的积分是 $- u^{- 1}$ 。

$- u^{- 1} + C$

解题步骤 12

将 $- u^{- 1} + C$ 重写为 $- \frac{1}{u} + C$ 。

$- \frac{1}{u} + C$

解题步骤 13

使用 $3 - 7 x^{3}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- \frac{1}{3 - 7 x^{3}} + C$

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