微积分学示例

$\frac{2 x^{4} - 3 x^{2} + 2}{x^{2} - 6 x + 8}$

解题步骤 1

用 $2 x^{4} - 3 x^{2} + 2$ 除以 $x^{2} - 6 x + 8$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$x^{2}$

$6 x$

$8$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$2$

解题步骤 1.2

将被除数中的最高阶项 $2 x^{4}$ 除以除数中的最高阶项 $x^{2}$ 。

$2 x^{2}$

$x^{2}$

$6 x$

$8$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$2$

解题步骤 1.3

将新的商式项乘以除数。

$2 x^{2}$

$x^{2}$

$6 x$

$8$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$2$

$2 x^{4}$

$12 x^{3}$

$16 x^{2}$

解题步骤 1.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $2 x^{4} - 12 x^{3} + 16 x^{2}$ 中的所有符号

$2 x^{2}$

$x^{2}$

$6 x$

$8$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$2$

$2 x^{4}$

$12 x^{3}$

$16 x^{2}$

解题步骤 1.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

$2 x^{2}$

$x^{2}$

$6 x$

$8$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$2$

$2 x^{4}$

$12 x^{3}$

$16 x^{2}$

$12 x^{3}$

$19 x^{2}$

解题步骤 1.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

$2 x^{2}$

$x^{2}$

$6 x$

$8$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$2$

$2 x^{4}$

$12 x^{3}$

$16 x^{2}$

$12 x^{3}$

$19 x^{2}$

$0 x$

解题步骤 1.7

将被除数中的最高阶项 $12 x^{3}$ 除以除数中的最高阶项 $x^{2}$ 。

$2 x^{2}$

$12 x$

$x^{2}$

$6 x$

$8$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$2$

$2 x^{4}$

$12 x^{3}$

$16 x^{2}$

$12 x^{3}$

$19 x^{2}$

$0 x$

解题步骤 1.8

将新的商式项乘以除数。

$2 x^{2}$

$12 x$

$x^{2}$

$6 x$

$8$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$2$

$2 x^{4}$

$12 x^{3}$

$16 x^{2}$

$12 x^{3}$

$19 x^{2}$

$0 x$

$12 x^{3}$

$72 x^{2}$

$96 x$

解题步骤 1.9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $12 x^{3} - 72 x^{2} + 96 x$ 中的所有符号

$2 x^{2}$

$12 x$

$x^{2}$

$6 x$

$8$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$2$

$2 x^{4}$

$12 x^{3}$

$16 x^{2}$

$12 x^{3}$

$19 x^{2}$

$0 x$

$12 x^{3}$

$72 x^{2}$

$96 x$

解题步骤 1.10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

$2 x^{2}$

$12 x$

$x^{2}$

$6 x$

$8$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$2$

$2 x^{4}$

$12 x^{3}$

$16 x^{2}$

$12 x^{3}$

$19 x^{2}$

$0 x$

$12 x^{3}$

$72 x^{2}$

$96 x$

$53 x^{2}$

$96 x$

解题步骤 1.11

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

$2 x^{2}$

$12 x$

$x^{2}$

$6 x$

$8$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$2$

$2 x^{4}$

$12 x^{3}$

$16 x^{2}$

$12 x^{3}$

$19 x^{2}$

$0 x$

$12 x^{3}$

$72 x^{2}$

$96 x$

$53 x^{2}$

$96 x$

$2$

解题步骤 1.12

将被除数中的最高阶项 $53 x^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $x^{2}$ 。

$2 x^{2}$

$12 x$

$53$

$x^{2}$

$6 x$

$8$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$2$

$2 x^{4}$

$12 x^{3}$

$16 x^{2}$

$12 x^{3}$

$19 x^{2}$

$0 x$

$12 x^{3}$

$72 x^{2}$

$96 x$

$53 x^{2}$

$96 x$

$2$

解题步骤 1.13

将新的商式项乘以除数。

$2 x^{2}$

$12 x$

$53$

$x^{2}$

$6 x$

$8$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$2$

$2 x^{4}$

$12 x^{3}$

$16 x^{2}$

$12 x^{3}$

$19 x^{2}$

$0 x$

$12 x^{3}$

$72 x^{2}$

$96 x$

$53 x^{2}$

$96 x$

$2$

$53 x^{2}$

$318 x$

$424$

解题步骤 1.14

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $53 x^{2} - 318 x + 424$ 中的所有符号

$2 x^{2}$

$12 x$

$53$

$x^{2}$

$6 x$

$8$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$2$

$2 x^{4}$

$12 x^{3}$

$16 x^{2}$

$12 x^{3}$

$19 x^{2}$

$0 x$

$12 x^{3}$

$72 x^{2}$

$96 x$

$53 x^{2}$

$96 x$

$2$

$53 x^{2}$

$318 x$

$424$

解题步骤 1.15

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

$2 x^{2}$

$12 x$

$53$

$x^{2}$

$6 x$

$8$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$2$

$2 x^{4}$

$12 x^{3}$

$16 x^{2}$

$12 x^{3}$

$19 x^{2}$

$0 x$

$12 x^{3}$

$72 x^{2}$

$96 x$

$53 x^{2}$

$96 x$

$2$

$53 x^{2}$

$318 x$

$424$

$222 x$

$422$

解题步骤 1.16

最终答案为商加上余数除以除数。

$\int 2 x^{2} + 12 x + 53 + \frac{222 x - 422}{x^{2} - 6 x + 8} d x$

解题步骤 2

将单个积分拆分为多个积分。

$\int 2 x^{2} d x + \int 12 x d x + \int 53 d x + \int \frac{222 x - 422}{x^{2} - 6 x + 8} d x$

解题步骤 3

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$2 \int x^{2} d x + \int 12 x d x + \int 53 d x + \int \frac{222 x - 422}{x^{2} - 6 x + 8} d x$

解题步骤 4

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$2 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int 12 x d x + \int 53 d x + \int \frac{222 x - 422}{x^{2} - 6 x + 8} d x$

解题步骤 5

由于 $12$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $12$ 移到积分外。

$2 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 12 \int x d x + \int 53 d x + \int \frac{222 x - 422}{x^{2} - 6 x + 8} d x$

解题步骤 6

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$2 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 12 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int 53 d x + \int \frac{222 x - 422}{x^{2} - 6 x + 8} d x$

解题步骤 7

应用常数不变法则。

$2 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 12 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 53 x + C + \int \frac{222 x - 422}{x^{2} - 6 x + 8} d x$

解题步骤 8

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.1

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $x^{3}$ 。

$2 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 12 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 53 x + C + \int \frac{222 x - 422}{x^{2} - 6 x + 8} d x$

解题步骤 8.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$2 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 12 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 53 x + C + \int \frac{222 x - 422}{x^{2} - 6 x + 8} d x$

解题步骤 9

用部分分式分解写出分数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.1

分解分数并乘以公分母。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.1.1

对分数进行因式分解。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.1.1.1

从 $222 x - 422$ 中分解出因数 $2$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.1.1.1.1

从 $222 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (111 x) - 422}{x^{2} - 6 x + 8}$

解题步骤 9.1.1.1.2

从 $- 422$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (111 x) + 2 (- 211)}{x^{2} - 6 x + 8}$

解题步骤 9.1.1.1.3

从 $2 (111 x) + 2 (- 211)$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (111 x - 211)}{x^{2} - 6 x + 8}$

解题步骤 9.1.1.2

使用 AC 法来对 $x^{2} - 6 x + 8$ 进行因式分解。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.1.1.2.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $8$ ，和为 $- 6$ 。

$- 4, - 2$

解题步骤 9.1.1.2.2

使用这些整数书写分数形式。

$\frac{2 (111 x - 211)}{(x - 4) (x - 2)}$

解题步骤 9.1.2

对于分母中的每一个因式，使用该因式为分母、未知值为分子来创建一个新的分数。由于分母中的因式是线性的，在它的位置 $A$ 上放置单个变量。

$\frac{A}{x - 4}$

解题步骤 9.1.3

对于分母中的每一个因式，使用该因式为分母、未知值为分子来创建一个新的分数。由于分母中的因式是线性的，在它的位置 $B$ 上放置单个变量。

$\frac{A}{x - 4} + \frac{B}{x - 2}$

解题步骤 9.1.4

将方程中的每个分数乘以原表达式中的分母。在本例中，分母为 $(x - 4) (x - 2)$ 。

$\frac{2 (111 x - 211) (x - 4) (x - 2)}{(x - 4) (x - 2)} = \frac{(A) (x - 4) (x - 2)}{x - 4} + \frac{(B) (x - 4) (x - 2)}{x - 2}$

解题步骤 9.1.5

约去 $x - 4$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.1.5.1

约去公因数。

$\frac{2 (111 x - 211) (x - 4) (x - 2)}{(x - 4) (x - 2)} = \frac{(A) (x - 4) (x - 2)}{x - 4} + \frac{(B) (x - 4) (x - 2)}{x - 2}$

解题步骤 9.1.5.2

重写表达式。

$\frac{2 (111 x - 211) (x - 2)}{x - 2} = \frac{(A) (x - 4) (x - 2)}{x - 4} + \frac{(B) (x - 4) (x - 2)}{x - 2}$

解题步骤 9.1.6

约去 $x - 2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.1.6.1

约去公因数。

$\frac{2 (111 x - 211) (x - 2)}{x - 2} = \frac{(A) (x - 4) (x - 2)}{x - 4} + \frac{(B) (x - 4) (x - 2)}{x - 2}$

解题步骤 9.1.6.2

用 $2 (111 x - 211)$ 除以 $1$ 。

$2 (111 x - 211) = \frac{(A) (x - 4) (x - 2)}{x - 4} + \frac{(B) (x - 4) (x - 2)}{x - 2}$

解题步骤 9.1.7

运用分配律。

$2 (111 x) + 2 \cdot - 211 = \frac{(A) (x - 4) (x - 2)}{x - 4} + \frac{(B) (x - 4) (x - 2)}{x - 2}$

解题步骤 9.1.8

乘。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.1.8.1

将 $111$ 乘以 $2$ 。

$222 x + 2 \cdot - 211 = \frac{(A) (x - 4) (x - 2)}{x - 4} + \frac{(B) (x - 4) (x - 2)}{x - 2}$

解题步骤 9.1.8.2

将 $2$ 乘以 $- 211$ 。

$222 x - 422 = \frac{(A) (x - 4) (x - 2)}{x - 4} + \frac{(B) (x - 4) (x - 2)}{x - 2}$

解题步骤 9.1.9

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.1.9.1

约去 $x - 4$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.1.9.1.1

约去公因数。

$222 x - 422 = \frac{A (x - 4) (x - 2)}{x - 4} + \frac{(B) (x - 4) (x - 2)}{x - 2}$

解题步骤 9.1.9.1.2

用 $(A) (x - 2)$ 除以 $1$ 。

$222 x - 422 = (A) (x - 2) + \frac{(B) (x - 4) (x - 2)}{x - 2}$

解题步骤 9.1.9.2

运用分配律。

$222 x - 422 = A x + A \cdot - 2 + \frac{(B) (x - 4) (x - 2)}{x - 2}$

解题步骤 9.1.9.3

将 $- 2$ 移到 $A$ 的左侧。

$222 x - 422 = A x - 2 \cdot A + \frac{(B) (x - 4) (x - 2)}{x - 2}$

解题步骤 9.1.9.4

约去 $x - 2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.1.9.4.1

约去公因数。

$222 x - 422 = A x - 2 A + \frac{(B) (x - 4) (x - 2)}{x - 2}$

解题步骤 9.1.9.4.2

用 $(B) (x - 4)$ 除以 $1$ 。

$222 x - 422 = A x - 2 A + (B) (x - 4)$

解题步骤 9.1.9.5

运用分配律。

$222 x - 422 = A x - 2 A + B x + B \cdot - 4$

解题步骤 9.1.9.6

将 $- 4$ 移到 $B$ 的左侧。

$222 x - 422 = A x - 2 A + B x - 4 B$

解题步骤 9.1.10

移动 $- 2 A$ 。

$222 x - 422 = A x + B x - 2 A - 4 B$

解题步骤 9.2

为部分分式变量创建方程, 并使用它们建立方程组。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.2.1

使方程两边 $x$ 的系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$222 = A + B$

解题步骤 9.2.2

使方程两边不含 $x$ 的各项系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$- 422 = - 2 A - 4 B$

解题步骤 9.2.3

建立方程组以求部分分式的系数。

$222 = A + B$

$- 422 = - 2 A - 4 B$

$222 = A + B$

$- 422 = - 2 A - 4 B$

解题步骤 9.3

求解方程组。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.3.1

在 $222 = A + B$ 中求解 $A$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.3.1.1

将方程重写为 $A + B = 222$ 。

$A + B = 222$

$- 422 = - 2 A - 4 B$

解题步骤 9.3.1.2

从等式两边同时减去 $B$ 。

$A = 222 - B$

$- 422 = - 2 A - 4 B$

$A = 222 - B$

$- 422 = - 2 A - 4 B$

解题步骤 9.3.2

将每个方程中所有出现的 $A$ 替换成 $222 - B$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.3.2.1

使用 $222 - B$ 替换 $- 422 = - 2 A - 4 B$ 中所有出现的 $A$ .

$- 422 = - 2 (222 - B) - 4 B$

$A = 222 - B$

解题步骤 9.3.2.2

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.3.2.2.1

化简 $- 2 (222 - B) - 4 B$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.3.2.2.1.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.3.2.2.1.1.1

运用分配律。

$- 422 = - 2 \cdot 222 - 2 (- B) - 4 B$

$A = 222 - B$

解题步骤 9.3.2.2.1.1.2

将 $- 2$ 乘以 $222$ 。

$- 422 = - 444 - 2 (- B) - 4 B$

$A = 222 - B$

解题步骤 9.3.2.2.1.1.3

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$- 422 = - 444 + 2 B - 4 B$

$A = 222 - B$

$- 422 = - 444 + 2 B - 4 B$

$A = 222 - B$

解题步骤 9.3.2.2.1.2

从 $2 B$ 中减去 $4 B$ 。

$- 422 = - 444 - 2 B$

$A = 222 - B$

$- 422 = - 444 - 2 B$

$A = 222 - B$

$- 422 = - 444 - 2 B$

$A = 222 - B$

$- 422 = - 444 - 2 B$

$A = 222 - B$

解题步骤 9.3.3

在 $- 422 = - 444 - 2 B$ 中求解 $B$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.3.3.1

将方程重写为 $- 444 - 2 B = - 422$ 。

$- 444 - 2 B = - 422$

$A = 222 - B$

解题步骤 9.3.3.2

将所有不包含 $B$ 的项移到等式右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.3.3.2.1

在等式两边都加上 $444$ 。

$- 2 B = - 422 + 444$

$A = 222 - B$

解题步骤 9.3.3.2.2

将 $- 422$ 和 $444$ 相加。

$- 2 B = 22$

$A = 222 - B$

$- 2 B = 22$

$A = 222 - B$

解题步骤 9.3.3.3

将 $- 2 B = 22$ 中的每一项除以 $- 2$ 并化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.3.3.3.1

将 $- 2 B = 22$ 中的每一项都除以 $- 2$ 。

$\frac{- 2 B}{- 2} = \frac{22}{- 2}$

$A = 222 - B$

解题步骤 9.3.3.3.2

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.3.3.3.2.1

约去 $- 2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.3.3.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{- 2 B}{- 2} = \frac{22}{- 2}$

$A = 222 - B$

解题步骤 9.3.3.3.2.1.2

用 $B$ 除以 $1$ 。

$B = \frac{22}{- 2}$

$A = 222 - B$

$B = \frac{22}{- 2}$

$A = 222 - B$

$B = \frac{22}{- 2}$

$A = 222 - B$

解题步骤 9.3.3.3.3

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.3.3.3.3.1

用 $22$ 除以 $- 2$ 。

$B = - 11$

$A = 222 - B$

$B = - 11$

$A = 222 - B$

$B = - 11$

$A = 222 - B$

$B = - 11$

$A = 222 - B$

解题步骤 9.3.4

将每个方程中所有出现的 $B$ 替换成 $- 11$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.3.4.1

使用 $- 11$ 替换 $A = 222 - B$ 中所有出现的 $B$ .

$A = 222 - (- 11)$

$B = - 11$

解题步骤 9.3.4.2

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.3.4.2.1

化简 $222 - (- 11)$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.3.4.2.1.1

将 $- 1$ 乘以 $- 11$ 。

$A = 222 + 11$

$B = - 11$

解题步骤 9.3.4.2.1.2

将 $222$ 和 $11$ 相加。

$A = 233$

$B = - 11$

$A = 233$

$B = - 11$

$A = 233$

$B = - 11$

$A = 233$

$B = - 11$

解题步骤 9.3.5

列出所有解。

$A = 233, B = - 11$

解题步骤 9.4

将 $\frac{A}{x - 4} + \frac{B}{x - 2}$ 中的每个部分分式的系数替换为求得的 $A$ 和 $B$ 的值。

$\frac{233}{x - 4} + \frac{- 11}{x - 2}$

解题步骤 9.5

将负号移到分数的前面。

$2 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 12 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 53 x + C + \int \frac{233}{x - 4} - \frac{11}{x - 2} d x$

解题步骤 10

将单个积分拆分为多个积分。

$2 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 12 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 53 x + C + \int \frac{233}{x - 4} d x + \int - \frac{11}{x - 2} d x$

解题步骤 11

由于 $233$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $233$ 移到积分外。

$2 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 12 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 53 x + C + 233 \int \frac{1}{x - 4} d x + \int - \frac{11}{x - 2} d x$

解题步骤 12

使 $u_{1} = x - 4$ 。然后使 $d u_{1} = d x$ 。使用 $u_{1}$ 和 $d$ $u_{1}$ 进行重写。

点击获取更多步骤...

解题步骤 12.1

设 $u_{1} = x - 4$ 。求 $\frac{d u_{1}}{d x}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 12.1.1

对 $x - 4$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x - 4]$

解题步骤 12.1.2

根据加法法则， $x - 4$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ 。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

解题步骤 12.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [- 4]$

解题步骤 12.1.4

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 12.1.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 12.2

使用 $u_{1}$ 和 $d u_{1}$ 重写该问题。

$2 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 12 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 53 x + C + 233 \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int - \frac{11}{x - 2} d x$

解题步骤 13

$\frac{1}{u_{1}}$ 对 $u_{1}$ 的积分为 $\ln (| u_{1} |)$ 。

$2 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 12 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 53 x + C + 233 (\ln (| u_{1} |) + C) + \int - \frac{11}{x - 2} d x$

解题步骤 14

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$2 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 12 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 53 x + C + 233 (\ln (| u_{1} |) + C) - \int \frac{11}{x - 2} d x$

解题步骤 15

由于 $11$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $11$ 移到积分外。

$2 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 12 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 53 x + C + 233 (\ln (| u_{1} |) + C) - (11 \int \frac{1}{x - 2} d x)$

解题步骤 16

将 $11$ 乘以 $- 1$ 。

$2 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 12 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 53 x + C + 233 (\ln (| u_{1} |) + C) - 11 \int \frac{1}{x - 2} d x$

解题步骤 17

使 $u_{2} = x - 2$ 。然后使 $d u_{2} = d x$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

点击获取更多步骤...

解题步骤 17.1

设 $u_{2} = x - 2$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d x}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 17.1.1

对 $x - 2$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x - 2]$

解题步骤 17.1.2

根据加法法则， $x - 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ 。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

解题步骤 17.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

解题步骤 17.1.4

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 17.1.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 17.2

使用 $u_{2}$ 和 $d u_{2}$ 重写该问题。

$2 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 12 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 53 x + C + 233 (\ln (| u_{1} |) + C) - 11 \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

解题步骤 18

$\frac{1}{u_{2}}$ 对 $u_{2}$ 的积分为 $\ln (| u_{2} |)$ 。

$2 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 12 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 53 x + C + 233 (\ln (| u_{1} |) + C) - 11 (\ln (| u_{2} |) + C)$

解题步骤 19

化简。

$\frac{2 x^{3}}{3} + 6 x^{2} + 53 x + 233 \ln (| u_{1} |) - 11 \ln (| u_{2} |) + C$

解题步骤 20

代回替换每一个积分法替换变量。

点击获取更多步骤...

解题步骤 20.1

使用 $x - 4$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{2 x^{3}}{3} + 6 x^{2} + 53 x + 233 \ln (| x - 4 |) - 11 \ln (| u_{2} |) + C$

解题步骤 20.2

使用 $x - 2$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{2 x^{3}}{3} + 6 x^{2} + 53 x + 233 \ln (| x - 4 |) - 11 \ln (| x - 2 |) + C$

解题步骤 21

重新排序项。

$\frac{2}{3} x^{3} + 6 x^{2} + 53 x + 233 \ln (| x - 4 |) - 11 \ln (| x - 2 |) + C$

微积分学 示例

微积分学示例