微积分学示例

$\frac{2 v^{2} + 6 v + 5}{(v + 2) {(v + 1)}^{2}}$

解题步骤 1

用部分分式分解写出分数。

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解题步骤 1.1

分解分数并乘以公分母。

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解题步骤 1.1.1

对于分母中的每一个因式，使用该因式为分母、未知值为分子来创建一个新的分数。由于分母中的因式是线性的，在它的位置 $A$ 上放置单个变量。

$\frac{A}{v + 2}$

解题步骤 1.1.2

对于分母中的每一个因式，使用该因式为分母、未知值为分子来创建一个新的分数。由于分母中的因式是线性的，在它的位置 $B$ 上放置单个变量。

$\frac{A}{v + 2} + \frac{B}{{(v + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3

对于分母中的每一个因式，使用该因式为分母、未知值为分子来创建一个新的分数。由于分母中的因式是线性的，在它的位置 $C$ 上放置单个变量。

$\frac{A}{v + 2} + \frac{B}{{(v + 1)}^{2}} + \frac{C}{v + 1}$

解题步骤 1.1.4

将方程中的每个分数乘以原表达式中的分母。在本例中，分母为 $(v + 2) {(v + 1)}^{2}$ 。

$\frac{(2 v^{2} + 6 v + 5) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{(v + 2) {(v + 1)}^{2}} = \frac{(A) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{v + 2} + \frac{(B) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{{(v + 1)}^{2}} + \frac{(C) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{v + 1}$

解题步骤 1.1.5

约去 $v + 2$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.5.1

约去公因数。

解题步骤 1.1.5.2

重写表达式。

$\frac{(2 v^{2} + 6 v + 5) {(v + 1)}^{2}}{{(v + 1)}^{2}} = \frac{(A) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{v + 2} + \frac{(B) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{{(v + 1)}^{2}} + \frac{(C) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{v + 1}$

解题步骤 1.1.6

约去 ${(v + 1)}^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.6.1

约去公因数。

$\frac{(2 v^{2} + 6 v + 5) {(v + 1)}^{2}}{{(v + 1)}^{2}} = \frac{(A) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{v + 2} + \frac{(B) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{{(v + 1)}^{2}} + \frac{(C) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{v + 1}$

解题步骤 1.1.6.2

用 $2 v^{2} + 6 v + 5$ 除以 $1$ 。

$2 v^{2} + 6 v + 5 = \frac{(A) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{v + 2} + \frac{(B) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{{(v + 1)}^{2}} + \frac{(C) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{v + 1}$

解题步骤 1.1.7

化简每一项。

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解题步骤 1.1.7.1

约去 $v + 2$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.7.1.1

约去公因数。

$2 v^{2} + 6 v + 5 = \frac{A (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{v + 2} + \frac{(B) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{{(v + 1)}^{2}} + \frac{(C) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{v + 1}$

解题步骤 1.1.7.1.2

用 $(A) {(v + 1)}^{2}$ 除以 $1$ 。

$2 v^{2} + 6 v + 5 = (A) {(v + 1)}^{2} + \frac{(B) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{{(v + 1)}^{2}} + \frac{(C) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{v + 1}$

解题步骤 1.1.7.2

将 ${(v + 1)}^{2}$ 重写为 $(v + 1) (v + 1)$ 。

$2 v^{2} + 6 v + 5 = A ((v + 1) (v + 1)) + \frac{(B) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{{(v + 1)}^{2}} + \frac{(C) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{v + 1}$

解题步骤 1.1.7.3

使用 FOIL 方法展开 $(v + 1) (v + 1)$ 。

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解题步骤 1.1.7.3.1

运用分配律。

$2 v^{2} + 6 v + 5 = A (v (v + 1) + 1 (v + 1)) + \frac{(B) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{{(v + 1)}^{2}} + \frac{(C) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{v + 1}$

解题步骤 1.1.7.3.2

运用分配律。

$2 v^{2} + 6 v + 5 = A (v \cdot v + v \cdot 1 + 1 (v + 1)) + \frac{(B) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{{(v + 1)}^{2}} + \frac{(C) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{v + 1}$

解题步骤 1.1.7.3.3

运用分配律。

$2 v^{2} + 6 v + 5 = A (v \cdot v + v \cdot 1 + 1 v + 1 \cdot 1) + \frac{(B) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{{(v + 1)}^{2}} + \frac{(C) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{v + 1}$

解题步骤 1.1.7.4

化简并合并同类项。

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解题步骤 1.1.7.4.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.7.4.1.1

将 $v$ 乘以 $v$ 。

$2 v^{2} + 6 v + 5 = A (v^{2} + v \cdot 1 + 1 v + 1 \cdot 1) + \frac{(B) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{{(v + 1)}^{2}} + \frac{(C) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{v + 1}$

解题步骤 1.1.7.4.1.2

将 $v$ 乘以 $1$ 。

$2 v^{2} + 6 v + 5 = A (v^{2} + v + 1 v + 1 \cdot 1) + \frac{(B) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{{(v + 1)}^{2}} + \frac{(C) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{v + 1}$

解题步骤 1.1.7.4.1.3

将 $v$ 乘以 $1$ 。

$2 v^{2} + 6 v + 5 = A (v^{2} + v + v + 1 \cdot 1) + \frac{(B) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{{(v + 1)}^{2}} + \frac{(C) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{v + 1}$

解题步骤 1.1.7.4.1.4

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$2 v^{2} + 6 v + 5 = A (v^{2} + v + v + 1) + \frac{(B) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{{(v + 1)}^{2}} + \frac{(C) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{v + 1}$

解题步骤 1.1.7.4.2

将 $v$ 和 $v$ 相加。

$2 v^{2} + 6 v + 5 = A (v^{2} + 2 v + 1) + \frac{(B) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{{(v + 1)}^{2}} + \frac{(C) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{v + 1}$

解题步骤 1.1.7.5

运用分配律。

$2 v^{2} + 6 v + 5 = A v^{2} + A (2 v) + A \cdot 1 + \frac{(B) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{{(v + 1)}^{2}} + \frac{(C) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{v + 1}$

解题步骤 1.1.7.6

化简。

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解题步骤 1.1.7.6.1

使用乘法的交换性质重写。

$2 v^{2} + 6 v + 5 = A v^{2} + 2 A v + A \cdot 1 + \frac{(B) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{{(v + 1)}^{2}} + \frac{(C) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{v + 1}$

解题步骤 1.1.7.6.2

将 $A$ 乘以 $1$ 。

$2 v^{2} + 6 v + 5 = A v^{2} + 2 A v + A + \frac{(B) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{{(v + 1)}^{2}} + \frac{(C) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{v + 1}$

解题步骤 1.1.7.7

约去 ${(v + 1)}^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.7.7.1

约去公因数。

$2 v^{2} + 6 v + 5 = A v^{2} + 2 A v + A + \frac{(B) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{{(v + 1)}^{2}} + \frac{(C) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{v + 1}$

解题步骤 1.1.7.7.2

用 $(B) (v + 2)$ 除以 $1$ 。

$2 v^{2} + 6 v + 5 = A v^{2} + 2 A v + A + (B) (v + 2) + \frac{(C) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{v + 1}$

解题步骤 1.1.7.8

运用分配律。

$2 v^{2} + 6 v + 5 = A v^{2} + 2 A v + A + B v + B \cdot 2 + \frac{(C) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{v + 1}$

解题步骤 1.1.7.9

将 $2$ 移到 $B$ 的左侧。

$2 v^{2} + 6 v + 5 = A v^{2} + 2 A v + A + B v + 2 \cdot B + \frac{(C) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{v + 1}$

解题步骤 1.1.7.10

约去 ${(v + 1)}^{2}$ 和 $v + 1$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.7.10.1

从 $(C) (v + 2) {(v + 1)}^{2}$ 中分解出因数 $v + 1$ 。

$2 v^{2} + 6 v + 5 = A v^{2} + 2 A v + A + B v + 2 B + \frac{(v + 1) ((C) (v + 2) (v + 1))}{v + 1}$

解题步骤 1.1.7.10.2

约去公因数。

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解题步骤 1.1.7.10.2.1

乘以 $1$ 。

$2 v^{2} + 6 v + 5 = A v^{2} + 2 A v + A + B v + 2 B + \frac{(v + 1) ((C) (v + 2) (v + 1))}{(v + 1) \cdot 1}$

解题步骤 1.1.7.10.2.2

约去公因数。

$2 v^{2} + 6 v + 5 = A v^{2} + 2 A v + A + B v + 2 B + \frac{(v + 1) ((C) (v + 2) (v + 1))}{(v + 1) \cdot 1}$

解题步骤 1.1.7.10.2.3

重写表达式。

$2 v^{2} + 6 v + 5 = A v^{2} + 2 A v + A + B v + 2 B + \frac{(C) (v + 2) (v + 1)}{1}$

解题步骤 1.1.7.10.2.4

用 $(C) (v + 2) (v + 1)$ 除以 $1$ 。

$2 v^{2} + 6 v + 5 = A v^{2} + 2 A v + A + B v + 2 B + (C) (v + 2) (v + 1)$

解题步骤 1.1.7.11

运用分配律。

$2 v^{2} + 6 v + 5 = A v^{2} + 2 A v + A + B v + 2 B + (C v + C \cdot 2) (v + 1)$

解题步骤 1.1.7.12

将 $2$ 移到 $C$ 的左侧。

$2 v^{2} + 6 v + 5 = A v^{2} + 2 A v + A + B v + 2 B + (C v + 2 \cdot C) (v + 1)$

解题步骤 1.1.7.13

使用 FOIL 方法展开 $(C v + 2 C) (v + 1)$ 。

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解题步骤 1.1.7.13.1

运用分配律。

$2 v^{2} + 6 v + 5 = A v^{2} + 2 A v + A + B v + 2 B + C v (v + 1) + 2 C (v + 1)$

解题步骤 1.1.7.13.2

运用分配律。

$2 v^{2} + 6 v + 5 = A v^{2} + 2 A v + A + B v + 2 B + C v \cdot v + C v \cdot 1 + 2 C (v + 1)$

解题步骤 1.1.7.13.3

运用分配律。

$2 v^{2} + 6 v + 5 = A v^{2} + 2 A v + A + B v + 2 B + C v \cdot v + C v \cdot 1 + 2 C v + 2 C \cdot 1$

解题步骤 1.1.7.14

化简并合并同类项。

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解题步骤 1.1.7.14.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.7.14.1.1

通过指数相加将 $v$ 乘以 $v$ 。

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解题步骤 1.1.7.14.1.1.1

移动 $v$ 。

$2 v^{2} + 6 v + 5 = A v^{2} + 2 A v + A + B v + 2 B + C (v \cdot v) + C v \cdot 1 + 2 C v + 2 C \cdot 1$

解题步骤 1.1.7.14.1.1.2

将 $v$ 乘以 $v$ 。

$2 v^{2} + 6 v + 5 = A v^{2} + 2 A v + A + B v + 2 B + C v^{2} + C v \cdot 1 + 2 C v + 2 C \cdot 1$

解题步骤 1.1.7.14.1.2

将 $C$ 乘以 $1$ 。

$2 v^{2} + 6 v + 5 = A v^{2} + 2 A v + A + B v + 2 B + C v^{2} + C v + 2 C v + 2 C \cdot 1$

解题步骤 1.1.7.14.1.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2 v^{2} + 6 v + 5 = A v^{2} + 2 A v + A + B v + 2 B + C v^{2} + C v + 2 C v + 2 C$

解题步骤 1.1.7.14.2

将 $C v$ 和 $2 C v$ 相加。

$2 v^{2} + 6 v + 5 = A v^{2} + 2 A v + A + B v + 2 B + C v^{2} + 3 C v + 2 C$

解题步骤 1.1.8

化简表达式。

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解题步骤 1.1.8.1

移动 $A$ 。

$2 v^{2} + 6 v + 5 = A v^{2} + 2 v A + A + B v + 2 B + C v^{2} + 3 C v + 2 C$

解题步骤 1.1.8.2

将 $B$ 和 $v$ 重新排序。

$2 v^{2} + 6 v + 5 = A v^{2} + 2 v A + A + B v + 2 B + C v^{2} + 3 C v + 2 C$

解题步骤 1.1.8.3

移动 $2 B$ 。

$2 v^{2} + 6 v + 5 = A v^{2} + 2 v A + A + B v + C v^{2} + 3 C v + 2 B + 2 C$

解题步骤 1.1.8.4

移动 $A$ 。

$2 v^{2} + 6 v + 5 = A v^{2} + 2 v A + B v + C v^{2} + 3 C v + A + 2 B + 2 C$

解题步骤 1.1.8.5

移动 $B v$ 。

$2 v^{2} + 6 v + 5 = A v^{2} + 2 v A + C v^{2} + B v + 3 C v + A + 2 B + 2 C$

解题步骤 1.1.8.6

移动 $2 v A$ 。

$2 v^{2} + 6 v + 5 = A v^{2} + C v^{2} + 2 v A + B v + 3 C v + A + 2 B + 2 C$

解题步骤 1.2

为部分分式变量创建方程, 并使用它们建立方程组。

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解题步骤 1.2.1

使方程两边 $v^{2}$ 的系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$2 = A + C$

解题步骤 1.2.2

使方程两边 $v$ 的系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$6 = 2 A + B + 3 C$

解题步骤 1.2.3

使方程两边不含 $v$ 的各项系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$5 = A + 2 B + 2 C$

解题步骤 1.2.4

建立方程组以求部分分式的系数。

$2 = A + C$

$6 = 2 A + B + 3 C$

$5 = A + 2 B + 2 C$

$2 = A + C$

$6 = 2 A + B + 3 C$

$5 = A + 2 B + 2 C$

解题步骤 1.3

求解方程组。

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解题步骤 1.3.1

在 $2 = A + C$ 中求解 $A$ 。

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解题步骤 1.3.1.1

将方程重写为 $A + C = 2$ 。

$A + C = 2$

$6 = 2 A + B + 3 C$

$5 = A + 2 B + 2 C$

解题步骤 1.3.1.2

从等式两边同时减去 $C$ 。

$A = 2 - C$

$6 = 2 A + B + 3 C$

$5 = A + 2 B + 2 C$

$A = 2 - C$

$6 = 2 A + B + 3 C$

$5 = A + 2 B + 2 C$

解题步骤 1.3.2

将每个方程中所有出现的 $A$ 替换成 $2 - C$ 。

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解题步骤 1.3.2.1

使用 $2 - C$ 替换 $6 = 2 A + B + 3 C$ 中所有出现的 $A$ .

$6 = 2 (2 - C) + B + 3 C$

$A = 2 - C$

$5 = A + 2 B + 2 C$

解题步骤 1.3.2.2

化简右边。

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解题步骤 1.3.2.2.1

化简 $2 (2 - C) + B + 3 C$ 。

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解题步骤 1.3.2.2.1.1

化简每一项。

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解题步骤 1.3.2.2.1.1.1

运用分配律。

$6 = 2 \cdot 2 + 2 (- C) + B + 3 C$

$A = 2 - C$

$5 = A + 2 B + 2 C$

解题步骤 1.3.2.2.1.1.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$6 = 4 + 2 (- C) + B + 3 C$

$A = 2 - C$

$5 = A + 2 B + 2 C$

解题步骤 1.3.2.2.1.1.3

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$6 = 4 - 2 C + B + 3 C$

$A = 2 - C$

$5 = A + 2 B + 2 C$

$6 = 4 - 2 C + B + 3 C$

$A = 2 - C$

$5 = A + 2 B + 2 C$

解题步骤 1.3.2.2.1.2

将 $- 2 C$ 和 $3 C$ 相加。

$6 = 4 + B + C$

$A = 2 - C$

$5 = A + 2 B + 2 C$

$6 = 4 + B + C$

$A = 2 - C$

$5 = A + 2 B + 2 C$

$6 = 4 + B + C$

$A = 2 - C$

$5 = A + 2 B + 2 C$

解题步骤 1.3.2.3

使用 $2 - C$ 替换 $5 = A + 2 B + 2 C$ 中所有出现的 $A$ .

$5 = (2 - C) + 2 B + 2 C$

$6 = 4 + B + C$

$A = 2 - C$

解题步骤 1.3.2.4

化简右边。

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解题步骤 1.3.2.4.1

将 $- C$ 和 $2 C$ 相加。

$5 = 2 + 2 B + C$

$6 = 4 + B + C$

$A = 2 - C$

$5 = 2 + 2 B + C$

$6 = 4 + B + C$

$A = 2 - C$

$5 = 2 + 2 B + C$

$6 = 4 + B + C$

$A = 2 - C$

解题步骤 1.3.3

将 $2$ 和 $- C$ 重新排序。

$A = - C + 2$

$5 = 2 + 2 B + C$

$6 = 4 + B + C$

解题步骤 1.3.4

在 $5 = 2 + 2 B + C$ 中求解 $C$ 。

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解题步骤 1.3.4.1

将方程重写为 $2 + 2 B + C = 5$ 。

$2 + 2 B + C = 5$

$A = - C + 2$

$6 = 4 + B + C$

解题步骤 1.3.4.2

将所有不包含 $C$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 1.3.4.2.1

从等式两边同时减去 $2$ 。

$2 B + C = 5 - 2$

$A = - C + 2$

$6 = 4 + B + C$

解题步骤 1.3.4.2.2

从等式两边同时减去 $2 B$ 。

$C = 5 - 2 - 2 B$

$A = - C + 2$

$6 = 4 + B + C$

解题步骤 1.3.4.2.3

从 $5$ 中减去 $2$ 。

$C = 3 - 2 B$

$A = - C + 2$

$6 = 4 + B + C$

$C = 3 - 2 B$

$A = - C + 2$

$6 = 4 + B + C$

$C = 3 - 2 B$

$A = - C + 2$

$6 = 4 + B + C$

解题步骤 1.3.5

将每个方程中所有出现的 $C$ 替换成 $3 - 2 B$ 。

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解题步骤 1.3.5.1

使用 $3 - 2 B$ 替换 $A = - C + 2$ 中所有出现的 $C$ .

$A = - (3 - 2 B) + 2$

$C = 3 - 2 B$

$6 = 4 + B + C$

解题步骤 1.3.5.2

化简右边。

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解题步骤 1.3.5.2.1

化简 $- (3 - 2 B) + 2$ 。

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解题步骤 1.3.5.2.1.1

化简每一项。

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解题步骤 1.3.5.2.1.1.1

运用分配律。

$A = - 1 \cdot 3 - (- 2 B) + 2$

$C = 3 - 2 B$

$6 = 4 + B + C$

解题步骤 1.3.5.2.1.1.2

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$A = - 3 - (- 2 B) + 2$

$C = 3 - 2 B$

$6 = 4 + B + C$

解题步骤 1.3.5.2.1.1.3

将 $- 2$ 乘以 $- 1$ 。

$A = - 3 + 2 B + 2$

$C = 3 - 2 B$

$6 = 4 + B + C$

$A = - 3 + 2 B + 2$

$C = 3 - 2 B$

$6 = 4 + B + C$

解题步骤 1.3.5.2.1.2

将 $- 3$ 和 $2$ 相加。

$A = 2 B - 1$

$C = 3 - 2 B$

$6 = 4 + B + C$

$A = 2 B - 1$

$C = 3 - 2 B$

$6 = 4 + B + C$

$A = 2 B - 1$

$C = 3 - 2 B$

$6 = 4 + B + C$

解题步骤 1.3.5.3

使用 $3 - 2 B$ 替换 $6 = 4 + B + C$ 中所有出现的 $C$ .

$6 = 4 + B + 3 - 2 B$

$A = 2 B - 1$

$C = 3 - 2 B$

解题步骤 1.3.5.4

化简 $6 = 4 + B + 3 - 2 B$ 。

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解题步骤 1.3.5.4.1

化简左边。

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解题步骤 1.3.5.4.1.1

去掉圆括号。

$6 = 4 + B + 3 - 2 B$

$A = 2 B - 1$

$C = 3 - 2 B$

$6 = 4 + B + 3 - 2 B$

$A = 2 B - 1$

$C = 3 - 2 B$

解题步骤 1.3.5.4.2

化简右边。

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解题步骤 1.3.5.4.2.1

化简 $4 + B + 3 - 2 B$ 。

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解题步骤 1.3.5.4.2.1.1

将 $4$ 和 $3$ 相加。

$6 = B + 7 - 2 B$

$A = 2 B - 1$

$C = 3 - 2 B$

解题步骤 1.3.5.4.2.1.2

从 $B$ 中减去 $2 B$ 。

$6 = - B + 7$

$A = 2 B - 1$

$C = 3 - 2 B$

$6 = - B + 7$

$A = 2 B - 1$

$C = 3 - 2 B$

$6 = - B + 7$

$A = 2 B - 1$

$C = 3 - 2 B$

$6 = - B + 7$

$A = 2 B - 1$

$C = 3 - 2 B$

$6 = - B + 7$

$A = 2 B - 1$

$C = 3 - 2 B$

解题步骤 1.3.6

在 $6 = - B + 7$ 中求解 $B$ 。

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解题步骤 1.3.6.1

将方程重写为 $- B + 7 = 6$ 。

$- B + 7 = 6$

$A = 2 B - 1$

$C = 3 - 2 B$

解题步骤 1.3.6.2

将所有不包含 $B$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 1.3.6.2.1

从等式两边同时减去 $7$ 。

$- B = 6 - 7$

$A = 2 B - 1$

$C = 3 - 2 B$

解题步骤 1.3.6.2.2

从 $6$ 中减去 $7$ 。

$- B = - 1$

$A = 2 B - 1$

$C = 3 - 2 B$

$- B = - 1$

$A = 2 B - 1$

$C = 3 - 2 B$

解题步骤 1.3.6.3

将 $- B = - 1$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 1.3.6.3.1

将 $- B = - 1$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- B}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

$A = 2 B - 1$

$C = 3 - 2 B$

解题步骤 1.3.6.3.2

化简左边。

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解题步骤 1.3.6.3.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{B}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

$A = 2 B - 1$

$C = 3 - 2 B$

解题步骤 1.3.6.3.2.2

用 $B$ 除以 $1$ 。

$B = \frac{- 1}{- 1}$

$A = 2 B - 1$

$C = 3 - 2 B$

$B = \frac{- 1}{- 1}$

$A = 2 B - 1$

$C = 3 - 2 B$

解题步骤 1.3.6.3.3

化简右边。

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解题步骤 1.3.6.3.3.1

用 $- 1$ 除以 $- 1$ 。

$B = 1$

$A = 2 B - 1$

$C = 3 - 2 B$

$B = 1$

$A = 2 B - 1$

$C = 3 - 2 B$

$B = 1$

$A = 2 B - 1$

$C = 3 - 2 B$

$B = 1$

$A = 2 B - 1$

$C = 3 - 2 B$

解题步骤 1.3.7

将每个方程中所有出现的 $B$ 替换成 $1$ 。

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解题步骤 1.3.7.1

使用 $1$ 替换 $A = 2 B - 1$ 中所有出现的 $B$ .

$A = 2 (1) - 1$

$B = 1$

$C = 3 - 2 B$

解题步骤 1.3.7.2

化简右边。

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解题步骤 1.3.7.2.1

化简 $2 (1) - 1$ 。

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解题步骤 1.3.7.2.1.1

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$A = 2 - 1$

$B = 1$

$C = 3 - 2 B$

解题步骤 1.3.7.2.1.2

从 $2$ 中减去 $1$ 。

$A = 1$

$B = 1$

$C = 3 - 2 B$

$A = 1$

$B = 1$

$C = 3 - 2 B$

$A = 1$

$B = 1$

$C = 3 - 2 B$

解题步骤 1.3.7.3

使用 $1$ 替换 $C = 3 - 2 B$ 中所有出现的 $B$ .

$C = 3 - 2 \cdot 1$

$A = 1$

$B = 1$

解题步骤 1.3.7.4

化简右边。

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解题步骤 1.3.7.4.1

化简 $3 - 2 \cdot 1$ 。

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解题步骤 1.3.7.4.1.1

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$C = 3 - 2$

$A = 1$

$B = 1$

解题步骤 1.3.7.4.1.2

从 $3$ 中减去 $2$ 。

$C = 1$

$A = 1$

$B = 1$

$C = 1$

$A = 1$

$B = 1$

$C = 1$

$A = 1$

$B = 1$

$C = 1$

$A = 1$

$B = 1$

解题步骤 1.3.8

列出所有解。

$C = 1, A = 1, B = 1$

解题步骤 1.4

将 $\frac{A}{v + 2} + \frac{B}{{(v + 1)}^{2}} + \frac{C}{v + 1}$ 中的每个部分分式的系数替换为求得的 $A$ 、 $B$ 和 $C$ 的值。

$\frac{1}{v + 2} + \frac{1}{{(v + 1)}^{2}} + \frac{1}{v + 1}$

解题步骤 1.5

去掉表达式中的零。

$\int \frac{1}{v + 2} + \frac{1}{{(v + 1)}^{2}} + \frac{1}{v + 1} d v$

解题步骤 2

将单个积分拆分为多个积分。

$\int \frac{1}{v + 2} d v + \int \frac{1}{{(v + 1)}^{2}} d v + \int \frac{1}{v + 1} d v$

解题步骤 3

使 $u_{1} = v + 2$ 。然后使 $d u_{1} = d v$ 。使用 $u_{1}$ 和 $d$ $u_{1}$ 进行重写。

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解题步骤 3.1

设 $u_{1} = v + 2$ 。求 $\frac{d u_{1}}{d v}$ 。

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解题步骤 3.1.1

对 $v + 2$ 求导。

$\frac{d}{d v} [v + 2]$

解题步骤 3.1.2

根据加法法则， $v + 2$ 对 $v$ 的导数是 $\frac{d}{d v} [v] + \frac{d}{d v} [2]$ 。

$\frac{d}{d v} [v] + \frac{d}{d v} [2]$

解题步骤 3.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ 等于 $n v^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d v} [2]$

解题步骤 3.1.4

因为 $2$ 对于 $v$ 是常数，所以 $2$ 对 $v$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 3.1.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 3.2

使用 $u_{1}$ 和 $d u_{1}$ 重写该问题。

$\int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{1}{{(v + 1)}^{2}} d v + \int \frac{1}{v + 1} d v$

解题步骤 4

$\frac{1}{u_{1}}$ 对 $u_{1}$ 的积分为 $\ln (| u_{1} |)$ 。

$\ln (| u_{1} |) + C + \int \frac{1}{{(v + 1)}^{2}} d v + \int \frac{1}{v + 1} d v$

解题步骤 5

使 $u_{2} = v + 1$ 。然后使 $d u_{2} = d v$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 5.1

设 $u_{2} = v + 1$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d v}$ 。

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解题步骤 5.1.1

对 $v + 1$ 求导。

$\frac{d}{d v} [v + 1]$

解题步骤 5.1.2

根据加法法则， $v + 1$ 对 $v$ 的导数是 $\frac{d}{d v} [v] + \frac{d}{d v} [1]$ 。

$\frac{d}{d v} [v] + \frac{d}{d v} [1]$

解题步骤 5.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ 等于 $n v^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d v} [1]$

解题步骤 5.1.4

因为 $1$ 对于 $v$ 是常数，所以 $1$ 对 $v$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 5.1.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 5.2

使用 $u_{2}$ 和 $d u_{2}$ 重写该问题。

$\ln (| u_{1} |) + C + \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2} + \int \frac{1}{v + 1} d v$

解题步骤 6

应用指数的基本规则。

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解题步骤 6.1

通过将 ${u_{2}}^{2}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\ln (| u_{1} |) + C + \int {({u_{2}}^{2})}^{- 1} d u_{2} + \int \frac{1}{v + 1} d v$

解题步骤 6.2

将 ${({u_{2}}^{2})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 6.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\ln (| u_{1} |) + C + \int {u_{2}}^{2 \cdot - 1} d u_{2} + \int \frac{1}{v + 1} d v$

解题步骤 6.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\ln (| u_{1} |) + C + \int {u_{2}}^{- 2} d u_{2} + \int \frac{1}{v + 1} d v$

解题步骤 7

根据幂法则， ${u_{2}}^{- 2}$ 对 $u_{2}$ 的积分是 $- {u_{2}}^{- 1}$ 。

$\ln (| u_{1} |) + C - {u_{2}}^{- 1} + C + \int \frac{1}{v + 1} d v$

解题步骤 8

使 $u_{3} = v + 1$ 。然后使 $d u_{3} = d v$ 。使用 $u_{3}$ 和 $d$ $u_{3}$ 进行重写。

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解题步骤 8.1

设 $u_{3} = v + 1$ 。求 $\frac{d u_{3}}{d v}$ 。

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解题步骤 8.1.1

对 $v + 1$ 求导。

$\frac{d}{d v} [v + 1]$

解题步骤 8.1.2

根据加法法则， $v + 1$ 对 $v$ 的导数是 $\frac{d}{d v} [v] + \frac{d}{d v} [1]$ 。

$\frac{d}{d v} [v] + \frac{d}{d v} [1]$

解题步骤 8.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ 等于 $n v^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d v} [1]$

解题步骤 8.1.4

因为 $1$ 对于 $v$ 是常数，所以 $1$ 对 $v$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 8.1.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 8.2

使用 $u_{3}$ 和 $d u_{3}$ 重写该问题。

$\ln (| u_{1} |) + C - {u_{2}}^{- 1} + C + \int \frac{1}{u_{3}} d u_{3}$

解题步骤 9

$\frac{1}{u_{3}}$ 对 $u_{3}$ 的积分为 $\ln (| u_{3} |)$ 。

$\ln (| u_{1} |) + C - {u_{2}}^{- 1} + C + \ln (| u_{3} |) + C$

解题步骤 10

化简。

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解题步骤 10.1

化简。

$\ln (| u_{1} |) - \frac{1}{u_{2}} + \ln (| u_{3} |) + C$

解题步骤 10.2

化简。

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解题步骤 10.2.1

使用对数积的性质，即 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ 。

$- \frac{1}{u_{2}} + \ln (| u_{1} | | u_{3} |) + C$

解题步骤 10.2.2

要将绝对值相乘，请将每个绝对值内的项相乘。

$- \frac{1}{u_{2}} + \ln (| u_{1} \cdot u_{3} |) + C$

解题步骤 11

代回替换每一个积分法替换变量。

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解题步骤 11.1

使用 $v + 1$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$- \frac{1}{v + 1} + \ln (| u_{1} \cdot u_{3} |) + C$

解题步骤 11.2

使用 $v + 2$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$- \frac{1}{v + 1} + \ln (| (v + 2) u_{3} |) + C$

解题步骤 11.3

使用 $v + 1$ 替换所有出现的 $u_{3}$ 。

$- \frac{1}{v + 1} + \ln (| (v + 2) (v + 1) |) + C$

微积分学 示例

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