微积分学示例

$\frac{100}{{(t + 2)}^{2}}$

解题步骤 1

由于 $100$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $100$ 移到积分外。

$100 \int \frac{1}{{(t + 2)}^{2}} d t$

解题步骤 2

使 $u = t + 2$ 。然后使 $d u = d t$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 2.1

设 $u = t + 2$ 。求 $\frac{d u}{d t}$ 。

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解题步骤 2.1.1

对 $t + 2$ 求导。

$\frac{d}{d t} [t + 2]$

解题步骤 2.1.2

根据加法法则， $t + 2$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [2]$ 。

$\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [2]$

解题步骤 2.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d t} [2]$

解题步骤 2.1.4

因为 $2$ 对于 $t$ 是常数，所以 $2$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 2.1.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 2.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$100 \int \frac{1}{u^{2}} d u$

解题步骤 3

应用指数的基本规则。

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解题步骤 3.1

通过将 $u^{2}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$100 \int {(u^{2})}^{- 1} d u$

解题步骤 3.2

将 ${(u^{2})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$100 \int u^{2 \cdot - 1} d u$

解题步骤 3.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$100 \int u^{- 2} d u$

解题步骤 4

根据幂法则， $u^{- 2}$ 对 $u$ 的积分是 $- u^{- 1}$ 。

$100 (- u^{- 1} + C)$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

将 $100 (- u^{- 1} + C)$ 重写为 $100 (- \frac{1}{u}) + C$ 。

$100 (- \frac{1}{u}) + C$

解题步骤 5.2

化简。

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解题步骤 5.2.1

将 $- 1$ 乘以 $100$ 。

$- 100 \frac{1}{u} + C$

解题步骤 5.2.2

组合 $- 100$ 和 $\frac{1}{u}$ 。

$\frac{- 100}{u} + C$

解题步骤 5.2.3

将负号移到分数的前面。

$- \frac{100}{u} + C$

解题步骤 6

使用 $t + 2$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- \frac{100}{t + 2} + C$

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