微积分学示例

$y = \sqrt{2 - x}$ , $x = 1$

解题步骤 1

Find the corresponding $y$ -value to $x = 1$ .

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解题步骤 1.1

代入 $1$ 替换 $x$ 。

$y = \sqrt{2 - (1)}$

解题步骤 1.2

化简 $\sqrt{2 - (1)}$ 。

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解题步骤 1.2.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$y = \sqrt{2 - 1}$

解题步骤 1.2.2

从 $2$ 中减去 $1$ 。

$y = \sqrt{1}$

解题步骤 1.2.3

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$y = 1$

解题步骤 2

求一阶导数并计算 $x = 1$ 和 $y = 1$ 的值，从而求切线的斜率。

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解题步骤 2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2 - x}$ 重写成 ${(2 - x)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d x} [{(2 - x)}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 2.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = 2 - x$ 。

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解题步骤 2.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $2 - x$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [2 - x]$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 - x]$

解题步骤 2.2.3

使用 $2 - x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{2} {(2 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 - x]$

解题步骤 2.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} {(2 - x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x]$

解题步骤 2.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} {(2 - x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x]$

解题步骤 2.5

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{2} {(2 - x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x]$

解题步骤 2.6

化简分子。

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解题步骤 2.6.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{2} {(2 - x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x]$

解题步骤 2.6.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{1}{2} {(2 - x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x]$

解题步骤 2.7

合并分数。

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解题步骤 2.7.1

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{2} {(2 - x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x]$

解题步骤 2.7.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(2 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$\frac{{(2 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [2 - x]$

解题步骤 2.7.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(2 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$\frac{1}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [2 - x]$

解题步骤 2.8

根据加法法则， $2 - x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x]$ 。

$\frac{1}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x])$

解题步骤 2.9

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x])$

解题步骤 2.10

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- x]$ 相加。

$\frac{1}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- x]$

解题步骤 2.11

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{1}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.12

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}} (- 1 \cdot 1)$

解题步骤 2.13

合并分数。

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解题步骤 2.13.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot - 1$

解题步骤 2.13.2

组合 $\frac{1}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ 和 $- 1$ 。

$\frac{- 1}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 2.13.3

将负号移到分数的前面。

$- \frac{1}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 2.14

计算在 $x = 1$ 处的导数。

$- \frac{1}{2 {(2 - (1))}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 2.15

化简。

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解题步骤 2.15.1

化简分母。

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解题步骤 2.15.1.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{1}{2 {(2 - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 2.15.1.2

从 $2$ 中减去 $1$ 。

$- \frac{1}{2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 2.15.1.3

一的任意次幂都为一。

$- \frac{1}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.15.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{1}{2}$

解题步骤 3

将斜率及点值代入点斜式公式并求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

使用斜率 $- \frac{1}{2}$ 和给定点 $(1, 1)$ ，替换由斜率方程 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 产生的点斜式 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 中的 $x_{1}$ 和 $y_{1}$ 。

$y - (1) = - \frac{1}{2} \cdot (x - (1))$

解题步骤 3.2

化简方程并保持点斜式。

$y - 1 = - \frac{1}{2} \cdot (x - 1)$

解题步骤 3.3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.3.1

化简 $- \frac{1}{2} \cdot (x - 1)$ 。

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解题步骤 3.3.1.1

重写。

$y - 1 = 0 + 0 - \frac{1}{2} \cdot (x - 1)$

解题步骤 3.3.1.2

通过加上各个零进行化简。

$y - 1 = - \frac{1}{2} \cdot (x - 1)$

解题步骤 3.3.1.3

运用分配律。

$y - 1 = - \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} \cdot - 1$

解题步骤 3.3.1.4

组合 $x$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$y - 1 = - \frac{x}{2} - \frac{1}{2} \cdot - 1$

解题步骤 3.3.1.5

乘以 $- \frac{1}{2} \cdot - 1$ 。

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解题步骤 3.3.1.5.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$y - 1 = - \frac{x}{2} + 1 (\frac{1}{2})$

解题步骤 3.3.1.5.2

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $1$ 。

$y - 1 = - \frac{x}{2} + \frac{1}{2}$

解题步骤 3.3.2

将所有不包含 $y$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 3.3.2.1

在等式两边都加上 $1$ 。

$y = - \frac{x}{2} + \frac{1}{2} + 1$

解题步骤 3.3.2.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$y = - \frac{x}{2} + \frac{1}{2} + \frac{2}{2}$

解题步骤 3.3.2.3

在公分母上合并分子。

$y = - \frac{x}{2} + \frac{1 + 2}{2}$

解题步骤 3.3.2.4

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$y = - \frac{x}{2} + \frac{3}{2}$

解题步骤 3.3.3

以 $y = m x + b$ 的形式书写。

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解题步骤 3.3.3.1

重新排序项。

$y = - (\frac{1}{2} x) + \frac{3}{2}$

解题步骤 3.3.3.2

去掉圆括号。

$y = - \frac{1}{2} x + \frac{3}{2}$

解题步骤 4

微积分学 示例

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