微积分学示例

$\frac{x^{3} - 2 x^{2} - x}{x^{2}}$

解题步骤 1

化简。

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解题步骤 1.1

从 $x^{3} - 2 x^{2} - x$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 1.1.1

从 $x^{3}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\int \frac{x \cdot x^{2} - 2 x^{2} - x}{x^{2}} d x$

解题步骤 1.1.2

从 $- 2 x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\int \frac{x \cdot x^{2} + x (- 2 x) - x}{x^{2}} d x$

解题步骤 1.1.3

从 $- x$ 中分解出因数 $x$ 。

$\int \frac{x \cdot x^{2} + x (- 2 x) + x \cdot - 1}{x^{2}} d x$

解题步骤 1.1.4

从 $x \cdot x^{2} + x (- 2 x)$ 中分解出因数 $x$ 。

$\int \frac{x (x^{2} - 2 x) + x \cdot - 1}{x^{2}} d x$

解题步骤 1.1.5

从 $x (x^{2} - 2 x) + x \cdot - 1$ 中分解出因数 $x$ 。

$\int \frac{x (x^{2} - 2 x - 1)}{x^{2}} d x$

解题步骤 1.2

约去公因数。

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解题步骤 1.2.1

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\int \frac{x (x^{2} - 2 x - 1)}{x \cdot x} d x$

解题步骤 1.2.2

约去公因数。

$\int \frac{x (x^{2} - 2 x - 1)}{x \cdot x} d x$

解题步骤 1.2.3

重写表达式。

$\int \frac{x^{2} - 2 x - 1}{x} d x$

解题步骤 2

用 $x^{2} - 2 x - 1$ 除以 $x$ 。

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解题步骤 2.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$x$

$0$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

解题步骤 2.2

将被除数中的最高阶项 $x^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

					$x$
	$x$	+	$0$		$x^{2}$	-	$2 x$	-	$1$

解题步骤 2.3

将新的商式项乘以除数。

				$x$
$x$	+	$0$		$x^{2}$	-	$2 x$	-	$1$
			+	$x^{2}$	+	$0$

解题步骤 2.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $x^{2} + 0$ 中的所有符号

				$x$
$x$	+	$0$		$x^{2}$	-	$2 x$	-	$1$
			-	$x^{2}$	-	$0$

解题步骤 2.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x$
$x$	+	$0$		$x^{2}$	-	$2 x$	-	$1$
			-	$x^{2}$	-	$0$
					-	$2 x$

解题步骤 2.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$x$
$x$	+	$0$		$x^{2}$	-	$2 x$	-	$1$
			-	$x^{2}$	-	$0$
					-	$2 x$	-	$1$

解题步骤 2.7

将被除数中的最高阶项 $- 2 x$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

				$x$	-	$2$
$x$	+	$0$		$x^{2}$	-	$2 x$	-	$1$
			-	$x^{2}$	-	$0$
					-	$2 x$	-	$1$

解题步骤 2.8

将新的商式项乘以除数。

				$x$	-	$2$
$x$	+	$0$		$x^{2}$	-	$2 x$	-	$1$
			-	$x^{2}$	-	$0$
					-	$2 x$	-	$1$
					-	$2 x$	+	$0$

解题步骤 2.9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- 2 x + 0$ 中的所有符号

				$x$	-	$2$
$x$	+	$0$		$x^{2}$	-	$2 x$	-	$1$
			-	$x^{2}$	-	$0$
					-	$2 x$	-	$1$
					+	$2 x$	-	$0$

解题步骤 2.10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x$	-	$2$
$x$	+	$0$		$x^{2}$	-	$2 x$	-	$1$
			-	$x^{2}$	-	$0$
					-	$2 x$	-	$1$
					+	$2 x$	-	$0$
							-	$1$

解题步骤 2.11

最终答案为商加上余数除以除数。

$\int x - 2 - \frac{1}{x} d x$

解题步骤 3

将单个积分拆分为多个积分。

$\int x d x + \int - 2 d x + \int - \frac{1}{x} d x$

解题步骤 4

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \int - 2 d x + \int - \frac{1}{x} d x$

解题步骤 5

应用常数不变法则。

$\frac{1}{2} x^{2} + C - 2 x + C + \int - \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} x^{2} + C - 2 x + C - \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 7

$\frac{1}{x}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$\frac{1}{2} x^{2} + C - 2 x + C - (\ln (| x |) + C)$

解题步骤 8

化简。

$\frac{1}{2} x^{2} - 2 x - \ln (| x |) + C$

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