微积分学示例

$\frac{x^{2} + 1}{x^{2}}$

解题步骤 1

应用指数的基本规则。

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解题步骤 1.1

通过将 $x^{2}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\int (x^{2} + 1) {(x^{2})}^{- 1} d x$

解题步骤 1.2

将 ${(x^{2})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 1.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int (x^{2} + 1) x^{2 \cdot - 1} d x$

解题步骤 1.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\int (x^{2} + 1) x^{- 2} d x$

$\int (x^{2} + 1) x^{- 2} d x$

$\int (x^{2} + 1) x^{- 2} d x$

解题步骤 2

乘以 $(x^{2} + 1) x^{- 2}$ 。

$\int x^{2} x^{- 2} + 1 x^{- 2} d x$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{- 2}$ 。

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解题步骤 3.1.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int x^{2 - 2} + 1 x^{- 2} d x$

解题步骤 3.1.2

从 $2$ 中减去 $2$ 。

$\int x^{0} + 1 x^{- 2} d x$

$\int x^{0} + 1 x^{- 2} d x$

解题步骤 3.2

化简 $x^{0}$ 。

$\int 1 + 1 x^{- 2} d x$

解题步骤 3.3

将 $x^{- 2}$ 乘以 $1$ 。

$\int 1 + x^{- 2} d x$

$\int 1 + x^{- 2} d x$

解题步骤 4

将单个积分拆分为多个积分。

$\int d x + \int x^{- 2} d x$

解题步骤 5

应用常数不变法则。

$x + C + \int x^{- 2} d x$

解题步骤 6

根据幂法则， $x^{- 2}$ 对 $x$ 的积分是 $- x^{- 1}$ 。

$x + C - x^{- 1} + C$

解题步骤 7

化简。

$x - \frac{1}{x} + C$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$