微积分学示例

$\frac{1}{1 + \cos (2 x)}$

解题步骤 1

使 $u_{1} = 2 x$ 。然后使 $d u_{1} = 2 d x$ ，以便 $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ 。使用 $u_{1}$ 和 $d$ $u_{1}$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u_{1} = 2 x$ 。求 $\frac{d u_{1}}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $2 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 1.1.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \cdot 1$

解题步骤 1.1.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2$

解题步骤 1.2

使用 $u_{1}$ 和 $d u_{1}$ 重写该问题。

$\int \frac{1}{1 + \cos (u_{1})} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

解题步骤 2

化简。

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解题步骤 2.1

将 $\frac{1}{1 + \cos (u_{1})}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$\int \frac{1}{(1 + \cos (u_{1})) \cdot 2} d u_{1}$

解题步骤 2.2

将 $2$ 移到 $1 + \cos (u_{1})$ 的左侧。

$\int \frac{1}{2 (1 + \cos (u_{1}))} d u_{1}$

解题步骤 3

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{1 + \cos (u_{1})} d u_{1}$

解题步骤 4

使用倍角公式把 $\cos (x)$ 转换为 $\cos^{2} (\frac{x}{2}) - \sin^{2} (\frac{x}{2})$ 。

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{1 + \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}) - \sin^{2} (\frac{u_{1}}{2})} d u_{1}$

解题步骤 5

使用勾股定理将 $1$ 转化为 $\sin^{2} (\frac{u_{1}}{2}) + \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})$ 。

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{\sin^{2} (\frac{u_{1}}{2}) + \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}) + \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}) - \sin^{2} (\frac{u_{1}}{2})} d u_{1}$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

从 ${\sin (\frac{u_{1}}{2})}^{2}$ 中减去 ${\sin (\frac{u_{1}}{2})}^{2}$ 。

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{{\cos (\frac{u_{1}}{2})}^{2} + {\cos (\frac{u_{1}}{2})}^{2} + 0} d u_{1}$

解题步骤 6.2

将 ${\cos (\frac{u_{1}}{2})}^{2}$ 和 ${\cos (\frac{u_{1}}{2})}^{2}$ 相加。

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{2 {\cos (\frac{u_{1}}{2})}^{2} + 0} d u_{1}$

解题步骤 6.3

将 $2 {\cos (\frac{u_{1}}{2})}^{2}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})} d u_{1}$

解题步骤 7

将自变量乘以 $\frac{\sec^{2} (\frac{u}{2})}{\sec^{2} (\frac{u}{2})}$

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})} \cdot \frac{\sec^{2} (\frac{u}{2})}{\sec^{2} (\frac{u}{2})} d u_{1}$

解题步骤 8

合并。

$\frac{1}{2} \int \frac{1 \sec^{2} (\frac{u}{2})}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}) \sec^{2} (\frac{u}{2})} d u_{1}$

解题步骤 9

将 ${\sec (\frac{u}{2})}^{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2} \int \frac{\sec^{2} (\frac{u}{2})}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}) \sec^{2} (\frac{u}{2})} d u_{1}$

解题步骤 10

将 $\sec (\frac{u}{2})$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{1}{2} \int \frac{\sec^{2} (\frac{u}{2})}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}) {(\frac{1}{\cos (\frac{u}{2})})}^{2}} d u_{1}$

解题步骤 11

对 $\frac{1}{\cos (\frac{u}{2})}$ 运用乘积法则。

$\frac{1}{2} \int \frac{\sec^{2} (\frac{u}{2})}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}) \frac{1^{2}}{\cos^{2} (\frac{u}{2})}} d u_{1}$

解题步骤 12

一的任意次幂都为一。

$\frac{1}{2} \int \frac{\sec^{2} (\frac{u}{2})}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}) \frac{1}{\cos^{2} (\frac{u}{2})}} d u_{1}$

解题步骤 13

乘以 $2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}) \frac{1}{\cos^{2} (\frac{u}{2})}$ 。

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解题步骤 13.1

组合 $\frac{1}{\cos^{2} (\frac{u}{2})}$ 和 $2$ 。

$\frac{1}{2} \int \frac{\sec^{2} (\frac{u}{2})}{\frac{2}{\cos^{2} (\frac{u}{2})} \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})} d u_{1}$

解题步骤 13.2

组合 $\frac{2}{\cos^{2} (\frac{u}{2})}$ 和 $\cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})$ 。

$\frac{1}{2} \int \frac{\sec^{2} (\frac{u}{2})}{\frac{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})}{\cos^{2} (\frac{u}{2})}} d u_{1}$

解题步骤 14

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{1}{2} \int \sec^{2} (\frac{u}{2}) \frac{\cos^{2} (\frac{u}{2})}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})} d u_{1}$

解题步骤 15

将 $\sec (\frac{u}{2})$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{1}{2} \int {(\frac{1}{\cos (\frac{u}{2})})}^{2} \frac{\cos^{2} (\frac{u}{2})}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})} d u_{1}$

解题步骤 16

对 $\frac{1}{\cos (\frac{u}{2})}$ 运用乘积法则。

$\frac{1}{2} \int \frac{1^{2}}{\cos^{2} (\frac{u}{2})} \cdot \frac{\cos^{2} (\frac{u}{2})}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})} d u_{1}$

解题步骤 17

合并。

$\frac{1}{2} \int \frac{1^{2} \cos^{2} (\frac{u}{2})}{\cos^{2} (\frac{u}{2}) (2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}))} d u_{1}$

解题步骤 18

约去 $\cos^{2} (\frac{u}{2})$ 的公因数。

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解题步骤 18.1

约去公因数。

$\frac{1}{2} \int \frac{1^{2} \cos^{2} (\frac{u}{2})}{\cos^{2} (\frac{u}{2}) (2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}))} d u_{1}$

解题步骤 18.2

重写表达式。

$\frac{1}{2} \int \frac{1^{2}}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})} d u_{1}$

解题步骤 19

一的任意次幂都为一。

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})} d u_{1}$

解题步骤 20

乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{2 (\cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}) \cdot 1)} d u_{1}$

解题步骤 21

分离分数。

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{2 \cdot (1)} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})} d u_{1}$

解题步骤 22

将 $\frac{1}{\cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})}$ 转换成 $\sec^{2} (\frac{u_{1}}{2})$ 。

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{2 \cdot (1)} \sec^{2} (\frac{u_{1}}{2}) d u_{1}$

解题步骤 23

合并分数。

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解题步骤 23.1

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{2} \sec^{2} (\frac{u_{1}}{2}) d u_{1}$

解题步骤 23.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $\sec^{2} (\frac{u_{1}}{2})$ 。

$\frac{1}{2} \int \frac{\sec^{2} (\frac{u_{1}}{2})}{2} d u_{1}$

解题步骤 24

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int \sec^{2} (\frac{u_{1}}{2}) d u_{1})$

解题步骤 25

使 $u_{2} = \frac{u_{1}}{2}$ 。然后使 $d u_{2} = \frac{1}{2} d u_{1}$ ，以便 $2 d u_{2} = d u_{1}$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 25.1

设 $u_{2} = \frac{u_{1}}{2}$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ 。

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解题步骤 25.1.1

对 $\frac{u_{1}}{2}$ 求导。

$\frac{d}{d u_{1}} [\frac{u_{1}}{2}]$

解题步骤 25.1.2

因为 $\frac{1}{2}$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以 $\frac{u_{1}}{2}$ 对 $u_{1}$ 的导数是 $\frac{1}{2} \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ 。

$\frac{1}{2} \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

解题步骤 25.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{2} \cdot 1$

解题步骤 25.1.4

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2}$

解题步骤 25.2

使用 $u_{2}$ 和 $d u_{2}$ 重写该问题。

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int \sec^{2} (u_{2}) \frac{1}{\frac{1}{2}} d u_{2})$

解题步骤 26

化简。

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解题步骤 26.1

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int \sec^{2} (u_{2}) (1 \cdot 2) d u_{2})$

解题步骤 26.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int \sec^{2} (u_{2}) \cdot 2 d u_{2})$

解题步骤 26.3

将 $2$ 移到 $\sec^{2} (u_{2})$ 的左侧。

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int 2 \sec^{2} (u_{2}) d u_{2})$

解题步骤 27

由于 $2$ 对于 $u_{2}$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} (2 \int \sec^{2} (u_{2}) d u_{2}))$

解题步骤 28

化简。

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解题步骤 28.1

组合 $2$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{2}{2} \int \sec^{2} (u_{2}) d u_{2})$

解题步骤 28.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 28.2.1

约去公因数。

$\frac{1}{2} (\frac{2}{2} \int \sec^{2} (u_{2}) d u_{2})$

解题步骤 28.2.2

重写表达式。

$\frac{1}{2} (1 \int \sec^{2} (u_{2}) d u_{2})$

解题步骤 28.3

将 $\int \sec^{2} (u_{2}) d u_{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2} \int \sec^{2} (u_{2}) d u_{2}$

解题步骤 29

因为 $\tan (u_{2})$ 的导数为 $\sec^{2} (u_{2})$ ，所以 $\sec^{2} (u_{2})$ 的积分为 $\tan (u_{2})$ 。

$\frac{1}{2} (\tan (u_{2}) + C)$

解题步骤 30

化简。

$\frac{1}{2} \tan (u_{2}) + C$

解题步骤 31

代回替换每一个积分法替换变量。

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解题步骤 31.1

使用 $\frac{u_{1}}{2}$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{1}{2} \tan (\frac{u_{1}}{2}) + C$

解题步骤 31.2

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{1}{2} \tan (\frac{2 x}{2}) + C$

解题步骤 32

化简。

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解题步骤 32.1

通过约去公因数来化简表达式 $\frac{2 x}{2}$ 。

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解题步骤 32.1.1

约去公因数。

$\frac{1}{2} \tan (\frac{2 x}{2}) + C$

解题步骤 32.1.2

重写表达式。

$\frac{1}{2} \tan (\frac{x}{1}) + C$

解题步骤 32.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$\frac{1}{2} \tan (x) + C$

微积分学 示例

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