微积分学示例

$\sec^{3} (2 x)$

解题步骤 1

从 $\sec^{3} (2 x)$ 中分解出因数 $\sec (2 x)$ 。

$\int \sec (2 x) \sec^{2} (2 x) d x$

解题步骤 2

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = \sec (2 x)$ ， $d v = \sec^{2} (2 x)$ 。

$\sec (2 x) (\frac{1}{2} \tan (2 x)) - \int \frac{1}{2} \tan (2 x) (2 \sec (2 x) \tan (2 x)) d x$

解题步骤 3

由于 $\frac{1}{2} \cdot 2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2} \cdot 2$ 移到积分外。

$\sec (2 x) (\frac{1}{2} \tan (2 x)) - (\frac{1}{2} \cdot 2 \int \tan (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x)) d x)$

解题步骤 4

合并分数。

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解题步骤 4.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $\tan (2 x)$ 。

$\sec (2 x) \frac{\tan (2 x)}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 2 \int \tan (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x)) d x)$

解题步骤 4.2

组合 $\sec (2 x)$ 和 $\frac{\tan (2 x)}{2}$ 。

$\frac{\sec (2 x) \tan (2 x)}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 2 \int \tan (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x)) d x)$

解题步骤 4.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{\sec (2 x) \tan (2 x)}{2} - (\frac{2}{2} \int \tan (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x)) d x)$

解题步骤 5

对 $\tan (2 x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\sec (2 x) \tan (2 x)}{2} - (\frac{2}{2} \int \tan^{1} (2 x) \tan (2 x) \sec (2 x) d x)$

解题步骤 6

对 $\tan (2 x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\sec (2 x) \tan (2 x)}{2} - (\frac{2}{2} \int \tan^{1} (2 x) \tan^{1} (2 x) \sec (2 x) d x)$

解题步骤 7

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\sec (2 x) \tan (2 x)}{2} - (\frac{2}{2} \int {\tan (2 x)}^{1 + 1} \sec (2 x) d x)$

解题步骤 8

化简表达式。

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解题步骤 8.1

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\sec (2 x) \tan (2 x)}{2} - (\frac{2}{2} \int \tan^{2} (2 x) \sec (2 x) d x)$

解题步骤 8.2

将 $\tan^{2} (2 x)$ 和 $\sec (2 x)$ 重新排序。

$\frac{\sec (2 x) \tan (2 x)}{2} - (\frac{2}{2} \int \sec (2 x) \tan^{2} (2 x) d x)$

解题步骤 9

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = \sec (2 x)$ ， $d v = \tan^{2} (2 x)$ 。

$\frac{\sec (2 x) \tan (2 x)}{2} - (\frac{2}{2} (\sec (2 x) (- x + \frac{1}{2} \tan (2 x)) - \int (- x + \frac{1}{2} \tan (2 x)) (2 \sec (2 x) \tan (2 x)) d x))$

解题步骤 10

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$\frac{\sec (2 x) \tan (2 x)}{2} - (\frac{2}{2} (\sec (2 x) (- x + \frac{1}{2} \tan (2 x)) - (2 \int (- x + \frac{1}{2} \tan (2 x)) (\sec (2 x) \tan (2 x)) d x)))$

解题步骤 11

化简项。

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解题步骤 11.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $\tan (2 x)$ 。

$\frac{\sec (2 x) \tan (2 x)}{2} - (\frac{2}{2} (\sec (2 x) (- x + \frac{\tan (2 x)}{2}) - (2 \int (- x + \frac{1}{2} \tan (2 x)) (\sec (2 x) \tan (2 x)) d x)))$

解题步骤 11.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $\tan (2 x)$ 。

$\frac{\sec (2 x) \tan (2 x)}{2} - (\frac{2}{2} (\sec (2 x) (- x + \frac{\tan (2 x)}{2}) - (2 \int (- x + \frac{\tan (2 x)}{2}) (\sec (2 x) \tan (2 x)) d x)))$

解题步骤 11.3

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{\sec (2 x) \tan (2 x)}{2} - (\frac{2}{2} (\sec (2 x) (- x + \frac{\tan (2 x)}{2}) - 2 \int (- x + \frac{\tan (2 x)}{2}) (\sec (2 x) \tan (2 x)) d x))$

解题步骤 11.4

运用分配律。

$\frac{\sec (2 x) \tan (2 x)}{2} - \frac{2}{2} (\sec (2 x) (- x + \frac{\tan (2 x)}{2})) - \frac{2}{2} (- 2 \int (- x + \frac{\tan (2 x)}{2}) \sec (2 x) \tan (2 x) d x)$

解题步骤 11.5

组合 $\sec (2 x)$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{\sec (2 x) \tan (2 x)}{2} - \frac{\sec (2 x) \cdot 2}{2} (- x + \frac{\tan (2 x)}{2}) - \frac{2}{2} (- 2 \int (- x + \frac{\tan (2 x)}{2}) \sec (2 x) \tan (2 x) d x)$

解题步骤 11.6

将 $- 2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{\sec (2 x) \tan (2 x)}{2} - \frac{\sec (2 x) \cdot 2}{2} (- x + \frac{\tan (2 x)}{2}) + 2 (\frac{2}{2}) \int (- x + \frac{\tan (2 x)}{2}) \sec (2 x) \tan (2 x) d x$

解题步骤 11.7

组合 $2$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{\sec (2 x) \tan (2 x)}{2} - \frac{\sec (2 x) \cdot 2}{2} (- x + \frac{\tan (2 x)}{2}) + \frac{2 \cdot 2}{2} \int (- x + \frac{\tan (2 x)}{2}) \sec (2 x) \tan (2 x) d x$

解题步骤 11.8

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{\sec (2 x) \tan (2 x)}{2} - \frac{\sec (2 x) \cdot 2}{2} (- x + \frac{\tan (2 x)}{2}) + \frac{4}{2} \int (- x + \frac{\tan (2 x)}{2}) \sec (2 x) \tan (2 x) d x$

解题步骤 12

求解 $\int \sec^{3} (2 x) d x$ ，我们发现 $\int \sec^{3} (2 x) d x$ = $\frac{\frac{\sec (2 x) \tan (2 x)}{2} - \frac{\sec (2 x) \cdot 2}{2} (- x + \frac{\tan (2 x)}{2})}{\frac{- 2}{2}}$ 。

$\frac{\frac{\sec (2 x) \tan (2 x)}{2} - \frac{\sec (2 x) \cdot 2}{2} (- x + \frac{\tan (2 x)}{2})}{\frac{- 2}{2}} + C$

解题步骤 13

化简答案。

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解题步骤 13.1

化简。

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解题步骤 13.1.1

将 $2$ 移到 $\sec (2 x)$ 的左侧。

$\frac{\frac{\sec (2 x) \tan (2 x)}{2} - \frac{2 \cdot \sec (2 x)}{2} (- x + \frac{\tan (2 x)}{2})}{\frac{- 2}{2}} + C$

解题步骤 13.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 13.1.2.1

约去公因数。

$\frac{\frac{\sec (2 x) \tan (2 x)}{2} - \frac{2 \sec (2 x)}{2} (- x + \frac{\tan (2 x)}{2})}{\frac{- 2}{2}} + C$

解题步骤 13.1.2.2

用 $\sec (2 x)$ 除以 $1$ 。

$\frac{\frac{\sec (2 x) \tan (2 x)}{2} - \sec (2 x) (- x + \frac{\tan (2 x)}{2})}{\frac{- 2}{2}} + C$

解题步骤 13.1.3

要将 $- \sec (2 x) (- x + \frac{\tan (2 x)}{2})$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{\frac{\sec (2 x) \tan (2 x)}{2} - \sec (2 x) (- x + \frac{\tan (2 x)}{2}) \cdot \frac{2}{2}}{\frac{- 2}{2}} + C$

解题步骤 13.1.4

组合 $- \sec (2 x) (- x + \frac{\tan (2 x)}{2})$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{\frac{\sec (2 x) \tan (2 x)}{2} + \frac{- \sec (2 x) (- x + \frac{\tan (2 x)}{2}) \cdot 2}{2}}{\frac{- 2}{2}} + C$

解题步骤 13.1.5

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{\sec (2 x) \tan (2 x) - \sec (2 x) (- x + \frac{\tan (2 x)}{2}) \cdot 2}{2}}{\frac{- 2}{2}} + C$

解题步骤 13.1.6

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{\frac{\sec (2 x) \tan (2 x) - 2 \sec (2 x) (- x + \frac{\tan (2 x)}{2})}{2}}{\frac{- 2}{2}} + C$

解题步骤 13.1.7

约去 $- 2$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 13.1.7.1

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{\frac{\sec (2 x) \tan (2 x) - 2 \sec (2 x) (- x + \frac{\tan (2 x)}{2})}{2}}{\frac{2 \cdot - 1}{2}} + C$

解题步骤 13.1.7.2

约去公因数。

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解题步骤 13.1.7.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{\frac{\sec (2 x) \tan (2 x) - 2 \sec (2 x) (- x + \frac{\tan (2 x)}{2})}{2}}{\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)}} + C$

解题步骤 13.1.7.2.2

约去公因数。

$\frac{\frac{\sec (2 x) \tan (2 x) - 2 \sec (2 x) (- x + \frac{\tan (2 x)}{2})}{2}}{\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}} + C$

解题步骤 13.1.7.2.3

重写表达式。

$\frac{\frac{\sec (2 x) \tan (2 x) - 2 \sec (2 x) (- x + \frac{\tan (2 x)}{2})}{2}}{\frac{- 1}{1}} + C$

解题步骤 13.1.7.2.4

用 $- 1$ 除以 $1$ 。

$\frac{\frac{\sec (2 x) \tan (2 x) - 2 \sec (2 x) (- x + \frac{\tan (2 x)}{2})}{2}}{- 1} + C$

解题步骤 13.1.8

移动 $\frac{\frac{\sec (2 x) \tan (2 x) - 2 \sec (2 x) (- x + \frac{\tan (2 x)}{2})}{2}}{- 1}$ 中分母的负号。

$- 1 \cdot \frac{\sec (2 x) \tan (2 x) - 2 \sec (2 x) (- x + \frac{\tan (2 x)}{2})}{2} + C$

解题步骤 13.1.9

将 $- 1 \frac{\sec (2 x) \tan (2 x) - 2 \sec (2 x) (- x + \frac{\tan (2 x)}{2})}{2}$ 重写为 $- \frac{\sec (2 x) \tan (2 x) - 2 \sec (2 x) (- x + \frac{\tan (2 x)}{2})}{2}$ 。

$- \frac{\sec (2 x) \tan (2 x) - 2 \sec (2 x) (- x + \frac{\tan (2 x)}{2})}{2} + C$

解题步骤 13.2

将 $- \frac{\sec (2 x) \tan (2 x) - 2 \sec (2 x) (- x + \frac{\tan (2 x)}{2})}{2} + C$ 重写为 $- \frac{\sec (2 x) \cdot 2 x}{2} + C$ 。

$- \frac{\sec (2 x) \cdot 2 x}{2} + C$

解题步骤 13.3

化简。

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解题步骤 13.3.1

将 $2$ 移到 $\sec (2 x)$ 的左侧。

$- \frac{2 \cdot \sec (2 x) x}{2} + C$

解题步骤 13.3.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 13.3.2.1

约去公因数。

$- \frac{2 \sec (2 x) x}{2} + C$

解题步骤 13.3.2.2

用 $\sec (2 x) x$ 除以 $1$ 。

$- (\sec (2 x) x) + C$

$- \sec (2 x) x + C$

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