微积分学示例

$e^{x} \sqrt{1 + e^{x}}$

解题步骤 1

使 $u = 1 + e^{x}$ 。然后使 $d u = e^{x} d x$ ，以便 $\frac{1}{e^{x}} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u = 1 + e^{x}$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $1 + e^{x}$ 求导。

$\frac{d}{d x} [1 + e^{x}]$

解题步骤 1.1.2

求微分。

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解题步骤 1.1.2.1

根据加法法则， $1 + e^{x}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ 。

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

解题步骤 1.1.2.2

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

解题步骤 1.1.3

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$0 + e^{x}$

解题步骤 1.1.4

将 $0$ 和 $e^{x}$ 相加。

$e^{x}$

解题步骤 1.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int \sqrt{u} d u$

解题步骤 2

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{u}$ 重写成 $u^{\frac{1}{2}}$ 。

$\int u^{\frac{1}{2}} d u$

解题步骤 3

根据幂法则， $u^{\frac{1}{2}}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ 。

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

解题步骤 4

使用 $1 + e^{x}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{2}{3} {(1 + e^{x})}^{\frac{3}{2}} + C$

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