微积分学示例

$\frac{1}{x^{2} \sqrt{x}}$

解题步骤 1

化简表达式。

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解题步骤 1.1

化简。

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解题步骤 1.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\int \frac{1}{x^{2} x^{\frac{1}{2}}} d x$

解题步骤 1.1.2

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 1.1.2.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int \frac{1}{x^{2 + \frac{1}{2}}} d x$

解题步骤 1.1.2.2

要将 $2$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\int \frac{1}{x^{2 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}}} d x$

解题步骤 1.1.2.3

组合 $2$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\int \frac{1}{x^{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}}} d x$

解题步骤 1.1.2.4

在公分母上合并分子。

$\int \frac{1}{x^{\frac{2 \cdot 2 + 1}{2}}} d x$

解题步骤 1.1.2.5

化简分子。

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解题步骤 1.1.2.5.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\int \frac{1}{x^{\frac{4 + 1}{2}}} d x$

解题步骤 1.1.2.5.2

将 $4$ 和 $1$ 相加。

$\int \frac{1}{x^{\frac{5}{2}}} d x$

解题步骤 1.2

应用指数的基本规则。

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解题步骤 1.2.1

通过将 $x^{\frac{5}{2}}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\int {(x^{\frac{5}{2}})}^{- 1} d x$

解题步骤 1.2.2

将 ${(x^{\frac{5}{2}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 1.2.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int x^{\frac{5}{2} \cdot - 1} d x$

解题步骤 1.2.2.2

乘以 $\frac{5}{2} \cdot - 1$ 。

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解题步骤 1.2.2.2.1

组合 $\frac{5}{2}$ 和 $- 1$ 。

$\int x^{\frac{5 \cdot - 1}{2}} d x$

解题步骤 1.2.2.2.2

将 $5$ 乘以 $- 1$ 。

$\int x^{\frac{- 5}{2}} d x$

解题步骤 1.2.2.3

将负号移到分数的前面。

$\int x^{- \frac{5}{2}} d x$

解题步骤 2

根据幂法则， $x^{- \frac{5}{2}}$ 对 $x$ 的积分是 $- \frac{2}{3} x^{- \frac{3}{2}}$ 。

$- \frac{2}{3} x^{- \frac{3}{2}} + C$

解题步骤 3

化简答案。

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解题步骤 3.1

将 $- \frac{2}{3} x^{- \frac{3}{2}} + C$ 重写为 $- \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} + C$ 。

$- \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} + C$

解题步骤 3.2

化简。

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解题步骤 3.2.1

将 $\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ 乘以 $\frac{2}{3}$ 。

$- \frac{2}{x^{\frac{3}{2}} \cdot 3} + C$

解题步骤 3.2.2

将 $3$ 移到 $x^{\frac{3}{2}}$ 的左侧。

$- \frac{2}{3 x^{\frac{3}{2}}} + C$

微积分学 示例

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