微积分学示例

$\frac{5 x + 2}{\sqrt[3]{x}}$

解题步骤 1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{3}}$ 。

$\int \frac{5 x + 2}{x^{\frac{1}{3}}} d x$

解题步骤 2

通过将 $x^{\frac{1}{3}}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\int (5 x + 2) {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1} d x$

解题步骤 3

将 ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int (5 x + 2) x^{\frac{1}{3} \cdot - 1} d x$

解题步骤 3.2

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $- 1$ 。

$\int (5 x + 2) x^{\frac{- 1}{3}} d x$

解题步骤 3.3

将负号移到分数的前面。

$\int (5 x + 2) x^{- \frac{1}{3}} d x$

解题步骤 4

展开 $(5 x + 2) x^{- \frac{1}{3}}$ 。

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解题步骤 4.1

运用分配律。

$\int 5 x \cdot x^{- \frac{1}{3}} + 2 x^{- \frac{1}{3}} d x$

解题步骤 4.2

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int 5 (x^{1} x^{- \frac{1}{3}}) + 2 x^{- \frac{1}{3}} d x$

解题步骤 4.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int 5 x^{1 - \frac{1}{3}} + 2 x^{- \frac{1}{3}} d x$

解题步骤 4.4

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\int 5 x^{\frac{3}{3} - \frac{1}{3}} + 2 x^{- \frac{1}{3}} d x$

解题步骤 4.5

在公分母上合并分子。

$\int 5 x^{\frac{3 - 1}{3}} + 2 x^{- \frac{1}{3}} d x$

解题步骤 4.6

从 $3$ 中减去 $1$ 。

$\int 5 x^{\frac{2}{3}} + 2 x^{- \frac{1}{3}} d x$

解题步骤 5

将单个积分拆分为多个积分。

$\int 5 x^{\frac{2}{3}} d x + \int 2 x^{- \frac{1}{3}} d x$

解题步骤 6

由于 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $5$ 移到积分外。

$5 \int x^{\frac{2}{3}} d x + \int 2 x^{- \frac{1}{3}} d x$

解题步骤 7

根据幂法则， $x^{\frac{2}{3}}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}}$ 。

$5 (\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} + C) + \int 2 x^{- \frac{1}{3}} d x$

解题步骤 8

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$5 (\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} + C) + 2 \int x^{- \frac{1}{3}} d x$

解题步骤 9

根据幂法则， $x^{- \frac{1}{3}}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}}$ 。

$5 (\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} + C) + 2 (\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} + C)$

解题步骤 10

化简。

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解题步骤 10.1

化简。

$5 (\frac{3}{5}) x^{\frac{5}{3}} + 2 (\frac{3}{2}) x^{\frac{2}{3}} + C$

解题步骤 10.2

化简。

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解题步骤 10.2.1

组合 $5$ 和 $\frac{3}{5}$ 。

$\frac{5 \cdot 3}{5} x^{\frac{5}{3}} + 2 (\frac{3}{2}) x^{\frac{2}{3}} + C$

解题步骤 10.2.2

将 $5$ 乘以 $3$ 。

$\frac{15}{5} x^{\frac{5}{3}} + 2 (\frac{3}{2}) x^{\frac{2}{3}} + C$

解题步骤 10.2.3

约去 $15$ 和 $5$ 的公因数。

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解题步骤 10.2.3.1

从 $15$ 中分解出因数 $5$ 。

$\frac{5 \cdot 3}{5} x^{\frac{5}{3}} + 2 (\frac{3}{2}) x^{\frac{2}{3}} + C$

解题步骤 10.2.3.2

约去公因数。

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解题步骤 10.2.3.2.1

从 $5$ 中分解出因数 $5$ 。

$\frac{5 \cdot 3}{5 (1)} x^{\frac{5}{3}} + 2 (\frac{3}{2}) x^{\frac{2}{3}} + C$

解题步骤 10.2.3.2.2

约去公因数。

$\frac{5 \cdot 3}{5 \cdot 1} x^{\frac{5}{3}} + 2 (\frac{3}{2}) x^{\frac{2}{3}} + C$

解题步骤 10.2.3.2.3

重写表达式。

$\frac{3}{1} x^{\frac{5}{3}} + 2 (\frac{3}{2}) x^{\frac{2}{3}} + C$

解题步骤 10.2.3.2.4

用 $3$ 除以 $1$ 。

$3 x^{\frac{5}{3}} + 2 (\frac{3}{2}) x^{\frac{2}{3}} + C$

解题步骤 10.2.4

组合 $2$ 和 $\frac{3}{2}$ 。

$3 x^{\frac{5}{3}} + \frac{2 \cdot 3}{2} x^{\frac{2}{3}} + C$

解题步骤 10.2.5

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$3 x^{\frac{5}{3}} + \frac{6}{2} x^{\frac{2}{3}} + C$

解题步骤 10.2.6

约去 $6$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 10.2.6.1

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$3 x^{\frac{5}{3}} + \frac{2 \cdot 3}{2} x^{\frac{2}{3}} + C$

解题步骤 10.2.6.2

约去公因数。

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解题步骤 10.2.6.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$3 x^{\frac{5}{3}} + \frac{2 \cdot 3}{2 (1)} x^{\frac{2}{3}} + C$

解题步骤 10.2.6.2.2

约去公因数。

$3 x^{\frac{5}{3}} + \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1} x^{\frac{2}{3}} + C$

解题步骤 10.2.6.2.3

重写表达式。

$3 x^{\frac{5}{3}} + \frac{3}{1} x^{\frac{2}{3}} + C$

解题步骤 10.2.6.2.4

用 $3$ 除以 $1$ 。

$3 x^{\frac{5}{3}} + 3 x^{\frac{2}{3}} + C$

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