微积分学示例

$3 e^{- 3 x} {(7 + 5 e^{- 3 x})}^{2} d x$

解题步骤 1

由于 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $3$ 移到积分外。

$3 \int e^{- 3 x} {(7 + 5 e^{- 3 x})}^{2} d x$

解题步骤 2

使 $u_{2} = 7 + 5 e^{- 3 x}$ 。然后使 $d u_{2} = - 15 e^{- 3 x} d x$ ，以便 $- \frac{1}{15} d u_{2} = e^{- 3 x} d x$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 2.1

设 $u_{2} = 7 + 5 e^{- 3 x}$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d x}$ 。

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解题步骤 2.1.1

对 $7 + 5 e^{- 3 x}$ 求导。

$\frac{d}{d x} [7 + 5 e^{- 3 x}]$

解题步骤 2.1.2

求微分。

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解题步骤 2.1.2.1

根据加法法则， $7 + 5 e^{- 3 x}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [5 e^{- 3 x}]$ 。

$\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [5 e^{- 3 x}]$

解题步骤 2.1.2.2

因为 $7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $7$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d x} [5 e^{- 3 x}]$

解题步骤 2.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [5 e^{- 3 x}]$ 。

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解题步骤 2.1.3.1

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 e^{- 3 x}$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]$ 。

$0 + 5 \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]$

解题步骤 2.1.3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = - 3 x$ 。

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解题步骤 2.1.3.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $- 3 x$ 。

$0 + 5 (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- 3 x])$

解题步骤 2.1.3.2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 等于 $a^{u_{1}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$0 + 5 (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- 3 x])$

解题步骤 2.1.3.2.3

使用 $- 3 x$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$0 + 5 (e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [- 3 x])$

解题步骤 2.1.3.3

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$0 + 5 (e^{- 3 x} (- 3 \frac{d}{d x} [x]))$

解题步骤 2.1.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$0 + 5 (e^{- 3 x} (- 3 \cdot 1))$

解题步骤 2.1.3.5

将 $- 3$ 乘以 $1$ 。

$0 + 5 (e^{- 3 x} \cdot - 3)$

解题步骤 2.1.3.6

将 $- 3$ 移到 $e^{- 3 x}$ 的左侧。

$0 + 5 (- 3 \cdot e^{- 3 x})$

解题步骤 2.1.3.7

将 $- 3$ 乘以 $5$ 。

$0 - 15 e^{- 3 x}$

解题步骤 2.1.4

从 $0$ 中减去 $15 e^{- 3 x}$ 。

$- 15 e^{- 3 x}$

解题步骤 2.2

使用 $u_{2}$ 和 $d u_{2}$ 重写该问题。

$3 \int {u_{2}}^{2} \frac{1}{- 15} d u_{2}$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

将负号移到分数的前面。

$3 \int {u_{2}}^{2} (- \frac{1}{15}) d u_{2}$

解题步骤 3.2

组合 ${u_{2}}^{2}$ 和 $\frac{1}{15}$ 。

$3 \int - \frac{{u_{2}}^{2}}{15} d u_{2}$

解题步骤 4

由于 $- 1$ 对于 $u_{2}$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$3 (- \int \frac{{u_{2}}^{2}}{15} d u_{2})$

解题步骤 5

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$- 3 \int \frac{{u_{2}}^{2}}{15} d u_{2}$

解题步骤 6

由于 $\frac{1}{15}$ 对于 $u_{2}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{15}$ 移到积分外。

$- 3 (\frac{1}{15} \int {u_{2}}^{2} d u_{2})$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

组合 $\frac{1}{15}$ 和 $- 3$ 。

$\frac{- 3}{15} \int {u_{2}}^{2} d u_{2}$

解题步骤 7.2

约去 $- 3$ 和 $15$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.1

从 $- 3$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (- 1)}{15} \int {u_{2}}^{2} d u_{2}$

解题步骤 7.2.2

约去公因数。

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解题步骤 7.2.2.1

从 $15$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 5} \int {u_{2}}^{2} d u_{2}$

解题步骤 7.2.2.2

约去公因数。

$\frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 5} \int {u_{2}}^{2} d u_{2}$

解题步骤 7.2.2.3

重写表达式。

$\frac{- 1}{5} \int {u_{2}}^{2} d u_{2}$

解题步骤 7.3

将负号移到分数的前面。

$- \frac{1}{5} \int {u_{2}}^{2} d u_{2}$

解题步骤 8

根据幂法则， ${u_{2}}^{2}$ 对 $u_{2}$ 的积分是 $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ 。

$- \frac{1}{5} (\frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C)$

解题步骤 9

化简。

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解题步骤 9.1

将 $- \frac{1}{5} (\frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C)$ 重写为 $- \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C$ 。

$- \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C$

解题步骤 9.2

化简。

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解题步骤 9.2.1

将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $\frac{1}{5}$ 。

$- \frac{1}{3 \cdot 5} {u_{2}}^{3} + C$

解题步骤 9.2.2

将 $3$ 乘以 $5$ 。

$- \frac{1}{15} {u_{2}}^{3} + C$

解题步骤 10

使用 $7 + 5 e^{- 3 x}$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$- \frac{1}{15} {(7 + 5 e^{- 3 x})}^{3} + C$

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