微积分学示例

$12 e^{2 t}$

解题步骤 1

由于 $12$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $12$ 移到积分外。

$12 \int e^{2 t} d t$

解题步骤 2

使 $u = 2 t$ 。然后使 $d u = 2 d t$ ，以便 $\frac{1}{2} d u = d t$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 2.1

设 $u = 2 t$ 。求 $\frac{d u}{d t}$ 。

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解题步骤 2.1.1

对 $2 t$ 求导。

$\frac{d}{d t} [2 t]$

解题步骤 2.1.2

因为 $2$ 对于 $t$ 是常数，所以 $2 t$ 对 $t$ 的导数是 $2 \frac{d}{d t} [t]$ 。

$2 \frac{d}{d t} [t]$

解题步骤 2.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \cdot 1$

解题步骤 2.1.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2$

解题步骤 2.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$12 \int e^{u} \frac{1}{2} d u$

解题步骤 3

组合 $e^{u}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$12 \int \frac{e^{u}}{2} d u$

解题步骤 4

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$12 (\frac{1}{2} \int e^{u} d u)$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $12$ 。

$\frac{12}{2} \int e^{u} d u$

解题步骤 5.2

约去 $12$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.1

从 $12$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot 6}{2} \int e^{u} d u$

解题步骤 5.2.2

约去公因数。

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解题步骤 5.2.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot 6}{2 (1)} \int e^{u} d u$

解题步骤 5.2.2.2

约去公因数。

$\frac{2 \cdot 6}{2 \cdot 1} \int e^{u} d u$

解题步骤 5.2.2.3

重写表达式。

$\frac{6}{1} \int e^{u} d u$

解题步骤 5.2.2.4

用 $6$ 除以 $1$ 。

$6 \int e^{u} d u$

解题步骤 6

$e^{u}$ 对 $u$ 的积分为 $e^{u}$ 。

$6 (e^{u} + C)$

解题步骤 7

化简。

$6 e^{u} + C$

解题步骤 8

使用 $2 t$ 替换所有出现的 $u$ 。

$6 e^{2 t} + C$

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