微积分学示例

$5 \sqrt{x^{2} + 6}$

解题步骤 1

由于 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $5$ 移到积分外。

$5 \int \sqrt{x^{2} + 6} d x$

解题步骤 2

使 $x = \sqrt{6} \tan (t)$ ，其中 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ 。然后使 $d x = \sec^{2} (t) \sqrt{6} d t$ 。请注意，因为 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ ，所以 $\sec^{2} (t) \sqrt{6}$ 为正数。

$5 \int \sqrt{{(\sqrt{6} \tan (t))}^{2} + {\sqrt{6}}^{2}} (\sec^{2} (t) \sqrt{6}) d t$

解题步骤 3

化简项。

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解题步骤 3.1

化简 $\sqrt{{(\sqrt{6} \tan (t))}^{2} + {\sqrt{6}}^{2}}$ 。

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解题步骤 3.1.1

化简每一项。

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解题步骤 3.1.1.1

对 $\sqrt{6} \tan (t)$ 运用乘积法则。

$5 \int \sqrt{{\sqrt{6}}^{2} \tan^{2} (t) + {\sqrt{6}}^{2}} (\sec^{2} (t) \sqrt{6}) d t$

解题步骤 3.1.1.2

将 ${\sqrt{6}}^{2}$ 重写为 $6$ 。

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解题步骤 3.1.1.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{6}$ 重写成 $6^{\frac{1}{2}}$ 。

$5 \int \sqrt{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2} \tan^{2} (t) + {\sqrt{6}}^{2}} (\sec^{2} (t) \sqrt{6}) d t$

解题步骤 3.1.1.2.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$5 \int \sqrt{6^{\frac{1}{2} \cdot 2} \tan^{2} (t) + {\sqrt{6}}^{2}} (\sec^{2} (t) \sqrt{6}) d t$

解题步骤 3.1.1.2.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$5 \int \sqrt{6^{\frac{2}{2}} \tan^{2} (t) + {\sqrt{6}}^{2}} (\sec^{2} (t) \sqrt{6}) d t$

解题步骤 3.1.1.2.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.1.1.2.4.1

约去公因数。

$5 \int \sqrt{6^{\frac{2}{2}} \tan^{2} (t) + {\sqrt{6}}^{2}} (\sec^{2} (t) \sqrt{6}) d t$

解题步骤 3.1.1.2.4.2

重写表达式。

$5 \int \sqrt{6^{1} \tan^{2} (t) + {\sqrt{6}}^{2}} (\sec^{2} (t) \sqrt{6}) d t$

解题步骤 3.1.1.2.5

计算指数。

$5 \int \sqrt{6 \tan^{2} (t) + {\sqrt{6}}^{2}} (\sec^{2} (t) \sqrt{6}) d t$

解题步骤 3.1.1.3

将 ${\sqrt{6}}^{2}$ 重写为 $6$ 。

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解题步骤 3.1.1.3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{6}$ 重写成 $6^{\frac{1}{2}}$ 。

$5 \int \sqrt{6 \tan^{2} (t) + {(6^{\frac{1}{2}})}^{2}} (\sec^{2} (t) \sqrt{6}) d t$

解题步骤 3.1.1.3.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$5 \int \sqrt{6 \tan^{2} (t) + 6^{\frac{1}{2} \cdot 2}} (\sec^{2} (t) \sqrt{6}) d t$

解题步骤 3.1.1.3.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$5 \int \sqrt{6 \tan^{2} (t) + 6^{\frac{2}{2}}} (\sec^{2} (t) \sqrt{6}) d t$

解题步骤 3.1.1.3.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.1.1.3.4.1

约去公因数。

$5 \int \sqrt{6 \tan^{2} (t) + 6^{\frac{2}{2}}} (\sec^{2} (t) \sqrt{6}) d t$

解题步骤 3.1.1.3.4.2

重写表达式。

$5 \int \sqrt{6 \tan^{2} (t) + 6^{1}} (\sec^{2} (t) \sqrt{6}) d t$

解题步骤 3.1.1.3.5

计算指数。

$5 \int \sqrt{6 \tan^{2} (t) + 6} (\sec^{2} (t) \sqrt{6}) d t$

解题步骤 3.1.2

从 $6 \tan^{2} (t) + 6$ 中分解出因数 $6$ 。

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解题步骤 3.1.2.1

从 $6 \tan^{2} (t)$ 中分解出因数 $6$ 。

$5 \int \sqrt{6 (\tan^{2} (t)) + 6} (\sec^{2} (t) \sqrt{6}) d t$

解题步骤 3.1.2.2

从 $6$ 中分解出因数 $6$ 。

$5 \int \sqrt{6 (\tan^{2} (t)) + 6 (1)} (\sec^{2} (t) \sqrt{6}) d t$

解题步骤 3.1.2.3

从 $6 (\tan^{2} (t)) + 6 (1)$ 中分解出因数 $6$ 。

$5 \int \sqrt{6 (\tan^{2} (t) + 1)} (\sec^{2} (t) \sqrt{6}) d t$

解题步骤 3.1.3

使用勾股恒等式。

$5 \int \sqrt{6 \sec^{2} (t)} (\sec^{2} (t) \sqrt{6}) d t$

解题步骤 3.1.4

将 $6$ 和 $\sec^{2} (t)$ 重新排序。

$5 \int \sqrt{\sec^{2} (t) \cdot 6} (\sec^{2} (t) \sqrt{6}) d t$

解题步骤 3.1.5

从根式下提出各项。

$5 \int \sec (t) \sqrt{6} (\sec^{2} (t) \sqrt{6}) d t$

解题步骤 3.2

化简。

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解题步骤 3.2.1

对 $\sec (t)$ 进行 $1$ 次方运算。

$5 \int \sec^{2} (t) \sec^{1} (t) \sqrt{6} \sqrt{6} d t$

解题步骤 3.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$5 \int {\sec (t)}^{2 + 1} \sqrt{6} \sqrt{6} d t$

解题步骤 3.2.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$5 \int \sec^{3} (t) \sqrt{6} \sqrt{6} d t$

解题步骤 3.2.4

对 $\sqrt{6}$ 进行 $1$ 次方运算。

$5 \int \sec^{3} (t) ({\sqrt{6}}^{1} \sqrt{6}) d t$

解题步骤 3.2.5

对 $\sqrt{6}$ 进行 $1$ 次方运算。

$5 \int \sec^{3} (t) ({\sqrt{6}}^{1} {\sqrt{6}}^{1}) d t$

解题步骤 3.2.6

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$5 \int \sec^{3} (t) {\sqrt{6}}^{1 + 1} d t$

解题步骤 3.2.7

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$5 \int \sec^{3} (t) {\sqrt{6}}^{2} d t$

解题步骤 3.2.8

将 ${\sqrt{6}}^{2}$ 重写为 $6$ 。

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解题步骤 3.2.8.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{6}$ 重写成 $6^{\frac{1}{2}}$ 。

$5 \int \sec^{3} (t) {(6^{\frac{1}{2}})}^{2} d t$

解题步骤 3.2.8.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$5 \int \sec^{3} (t) \cdot 6^{\frac{1}{2} \cdot 2} d t$

解题步骤 3.2.8.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$5 \int \sec^{3} (t) \cdot 6^{\frac{2}{2}} d t$

解题步骤 3.2.8.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.8.4.1

约去公因数。

$5 \int \sec^{3} (t) \cdot 6^{\frac{2}{2}} d t$

解题步骤 3.2.8.4.2

重写表达式。

$5 \int \sec^{3} (t) \cdot 6^{1} d t$

解题步骤 3.2.8.5

计算指数。

$5 \int \sec^{3} (t) \cdot 6 d t$

解题步骤 3.2.9

将 $6$ 移到 $\sec^{3} (t)$ 的左侧。

$5 \int 6 \sec^{3} (t) d t$

解题步骤 4

由于 $6$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $6$ 移到积分外。

$5 (6 \int \sec^{3} (t) d t)$

解题步骤 5

通过提取公因式进行化简。

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解题步骤 5.1

将 $6$ 乘以 $5$ 。

$30 \int \sec^{3} (t) d t$

解题步骤 5.2

从 $\sec^{3} (t)$ 中分解出因数 $\sec (t)$ 。

$30 \int \sec (t) \sec^{2} (t) d t$

解题步骤 6

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = \sec (t)$ ， $d v = \sec^{2} (t)$ 。

$30 (\sec (t) \tan (t) - \int \tan (t) (\sec (t) \tan (t)) d t)$

解题步骤 7

对 $\tan (t)$ 进行 $1$ 次方运算。

$30 (\sec (t) \tan (t) - \int \tan^{1} (t) \tan (t) \sec (t) d t)$

解题步骤 8

对 $\tan (t)$ 进行 $1$ 次方运算。

$30 (\sec (t) \tan (t) - \int \tan^{1} (t) \tan^{1} (t) \sec (t) d t)$

解题步骤 9

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$30 (\sec (t) \tan (t) - \int {\tan (t)}^{1 + 1} \sec (t) d t)$

解题步骤 10

化简表达式。

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解题步骤 10.1

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$30 (\sec (t) \tan (t) - \int \tan^{2} (t) \sec (t) d t)$

解题步骤 10.2

将 $\tan^{2} (t)$ 和 $\sec (t)$ 重新排序。

$30 (\sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) \tan^{2} (t) d t)$

解题步骤 11

使用勾股定理，将 $\tan^{2} (t)$ 重写成 $- 1 + \sec^{2} (t)$ 的形式。

$30 (\sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) (- 1 + \sec^{2} (t)) d t)$

解题步骤 12

通过相乘进行化简。

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解题步骤 12.1

将幂重写为乘积形式。

$30 (\sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) (- 1 + \sec (t) \sec (t)) d t)$

解题步骤 12.2

运用分配律。

$30 (\sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) \cdot - 1 + \sec (t) (\sec (t) \sec (t)) d t)$

解题步骤 12.3

将 $\sec (t)$ 和 $- 1$ 重新排序。

$30 (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \cdot \sec (t) + \sec (t) (\sec (t) \sec (t)) d t)$

解题步骤 13

对 $\sec (t)$ 进行 $1$ 次方运算。

$30 (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{1} (t) \sec (t) \sec (t) d t)$

解题步骤 14

对 $\sec (t)$ 进行 $1$ 次方运算。

$30 (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{1} (t) \sec^{1} (t) \sec (t) d t)$

解题步骤 15

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$30 (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + {\sec (t)}^{1 + 1} \sec (t) d t)$

解题步骤 16

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$30 (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{2} (t) \sec (t) d t)$

解题步骤 17

对 $\sec (t)$ 进行 $1$ 次方运算。

$30 (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{2} (t) \sec^{1} (t) d t)$

解题步骤 18

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$30 (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + {\sec (t)}^{2 + 1} d t)$

解题步骤 19

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$30 (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{3} (t) d t)$

解题步骤 20

将单个积分拆分为多个积分。

$30 (\sec (t) \tan (t) - (\int - 1 \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t))$

解题步骤 21

由于 $- 1$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$30 (\sec (t) \tan (t) - (- \int \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t))$

解题步骤 22

$\sec (t)$ 对 $t$ 的积分为 $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ 。

$30 (\sec (t) \tan (t) - (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \int \sec^{3} (t) d t))$

解题步骤 23

通过相乘进行化简。

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解题步骤 23.1

运用分配律。

$30 (\sec (t) \tan (t) - - (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) - \int \sec^{3} (t) d t)$

解题步骤 23.2

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$30 (\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) - \int \sec^{3} (t) d t)$

解题步骤 24

求解 $\int \sec^{3} (t) d t$ ，我们发现 $\int \sec^{3} (t) d t$ = $\frac{\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C)}{2}$ 。

$30 (\frac{\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C)}{2} + C)$

解题步骤 25

将 $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C$ 乘以 $1$ 。

$30 (\frac{\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C}{2} + C)$

解题步骤 26

化简。

$30 (\frac{1}{2}) (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C$

解题步骤 27

化简。

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解题步骤 27.1

组合 $30$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{30}{2} (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C$

解题步骤 27.2

约去 $30$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 27.2.1

从 $30$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot 15}{2} (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C$

解题步骤 27.2.2

约去公因数。

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解题步骤 27.2.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot 15}{2 (1)} (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C$

解题步骤 27.2.2.2

约去公因数。

$\frac{2 \cdot 15}{2 \cdot 1} (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C$

解题步骤 27.2.2.3

重写表达式。

$\frac{15}{1} (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C$

解题步骤 27.2.2.4

用 $15$ 除以 $1$ 。

$15 (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C$

解题步骤 28

使用 $\arctan (\frac{x}{\sqrt{6}})$ 替换所有出现的 $t$ 。

$15 (\sec (\arctan (\frac{x}{\sqrt{6}})) \tan (\arctan (\frac{x}{\sqrt{6}})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{\sqrt{6}})) + \tan (\arctan (\frac{x}{\sqrt{6}})) |)) + C$

解题步骤 29

重新排序项。

$15 (\sec (\arctan (\frac{1}{\sqrt{6}} x)) \tan (\arctan (\frac{1}{\sqrt{6}} x)) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{1}{\sqrt{6}} x)) + \tan (\arctan (\frac{1}{\sqrt{6}} x)) |)) + C$

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