微积分学示例

$\cos (\frac{1 x}{3})$

解题步骤 1

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$\int \cos (\frac{x}{3}) d x$

解题步骤 2

使 $u = \frac{x}{3}$ 。然后使 $d u = \frac{1}{3} d x$ ，以便 $3 d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 2.1

设 $u = \frac{x}{3}$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 2.1.1

对 $\frac{x}{3}$ 求导。

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

解题步骤 2.1.2

因为 $\frac{1}{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{x}{3}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{3} \cdot 1$

解题步骤 2.1.4

将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{3}$

解题步骤 2.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int \cos (u) \frac{1}{\frac{1}{3}} d u$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{1}{3}$ 。

$\int \cos (u) (1 \cdot 3) d u$

解题步骤 3.2

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$\int \cos (u) \cdot 3 d u$

解题步骤 3.3

将 $3$ 移到 $\cos (u)$ 的左侧。

$\int 3 \cos (u) d u$

解题步骤 4

由于 $3$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $3$ 移到积分外。

$3 \int \cos (u) d u$

解题步骤 5

$\cos (u)$ 对 $u$ 的积分为 $\sin (u)$ 。

$3 (\sin (u) + C)$

解题步骤 6

化简。

$3 \sin (u) + C$

解题步骤 7

使用 $\frac{x}{3}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$3 \sin (\frac{x}{3}) + C$

解题步骤 8

重新排序项。

$3 \sin (\frac{1}{3} x) + C$

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