微积分学示例

$8 \cos^{2} (x)$

解题步骤 1

由于 $8$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $8$ 移到积分外。

$8 \int \cos^{2} (x) d x$

解题步骤 2

使用半角公式将 $\frac{1 + \cos (2 x)}{2}$ 重新书写为 $\cos^{2} (x)$ 的形式。

$8 \int \frac{1 + \cos (2 x)}{2} d x$

解题步骤 3

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$8 (\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 x) d x)$

解题步骤 4

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $8$ 。

$\frac{8}{2} \int 1 + \cos (2 x) d x$

解题步骤 4.2

约去 $8$ 和 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.1

从 $8$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot 4}{2} \int 1 + \cos (2 x) d x$

解题步骤 4.2.2

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot 4}{2 (1)} \int 1 + \cos (2 x) d x$

解题步骤 4.2.2.2

约去公因数。

$\frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1} \int 1 + \cos (2 x) d x$

解题步骤 4.2.2.3

重写表达式。

$\frac{4}{1} \int 1 + \cos (2 x) d x$

解题步骤 4.2.2.4

用 $4$ 除以 $1$ 。

$4 \int 1 + \cos (2 x) d x$

解题步骤 5

将单个积分拆分为多个积分。

$4 (\int d x + \int \cos (2 x) d x)$

解题步骤 6

应用常数不变法则。

$4 (x + C + \int \cos (2 x) d x)$

解题步骤 7

使 $u = 2 x$ 。然后使 $d u = 2 d x$ ，以便 $\frac{1}{2} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.1

设 $u = 2 x$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.1.1

对 $2 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 7.1.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 7.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \cdot 1$

解题步骤 7.1.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2$

解题步骤 7.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$4 (x + C + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

解题步骤 8

组合 $\cos (u)$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$4 (x + C + \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

解题步骤 9

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$4 (x + C + \frac{1}{2} \int \cos (u) d u)$

解题步骤 10

$\cos (u)$ 对 $u$ 的积分为 $\sin (u)$ 。

$4 (x + C + \frac{1}{2} (\sin (u) + C))$

解题步骤 11

化简。

$4 (x + \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

解题步骤 12

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$4 (x + \frac{1}{2} \sin (2 x)) + C$

解题步骤 13

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 13.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $\sin (2 x)$ 。

$4 (x + \frac{\sin (2 x)}{2}) + C$

解题步骤 13.2

运用分配律。

$4 x + 4 \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

解题步骤 13.3

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 13.3.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$4 x + 2 (2) \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

解题步骤 13.3.2

约去公因数。

$4 x + 2 \cdot 2 \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

解题步骤 13.3.3

重写表达式。

$4 x + 2 \sin (2 x) + C$

微积分学 示例

微积分学示例