微积分学示例

${(\frac{e^{y} - e^{- y}}{2})}^{2}$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ 等于 $f' (g (y)) g' (y)$ ，其中 $f (y) = y^{2}$ 且 $g (y) = \frac{e^{y} - e^{- y}}{2}$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $\frac{e^{y} - e^{- y}}{2}$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d y} [\frac{e^{y} - e^{- y}}{2}]$

解题步骤 1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 u_{1} \frac{d}{d y} [\frac{e^{y} - e^{- y}}{2}]$

解题步骤 1.3

使用 $\frac{e^{y} - e^{- y}}{2}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$2 \frac{e^{y} - e^{- y}}{2} \frac{d}{d y} [\frac{e^{y} - e^{- y}}{2}]$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

组合 $2$ 和 $\frac{e^{y} - e^{- y}}{2}$ 。

$\frac{2 (e^{y} - e^{- y})}{2} \frac{d}{d y} [\frac{e^{y} - e^{- y}}{2}]$

解题步骤 2.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.1

约去公因数。

$\frac{2 (e^{y} - e^{- y})}{2} \frac{d}{d y} [\frac{e^{y} - e^{- y}}{2}]$

解题步骤 2.2.2

用 $e^{y} - e^{- y}$ 除以 $1$ 。

$(e^{y} - e^{- y}) \frac{d}{d y} [\frac{e^{y} - e^{- y}}{2}]$

解题步骤 2.3

因为 $\frac{1}{2}$ 对于 $y$ 是常数，所以 $\frac{e^{y} - e^{- y}}{2}$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{1}{2} \frac{d}{d y} [e^{y} - e^{- y}]$ 。

$(e^{y} - e^{- y}) (\frac{1}{2} \frac{d}{d y} [e^{y} - e^{- y}])$

解题步骤 2.4

根据加法法则， $e^{y} - e^{- y}$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [e^{y}] + \frac{d}{d y} [- e^{- y}]$ 。

$(e^{y} - e^{- y}) \frac{1}{2} (\frac{d}{d y} [e^{y}] + \frac{d}{d y} [- e^{- y}])$

解题步骤 3

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [a^{y}]$ 等于 $a^{y} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$(e^{y} - e^{- y}) \frac{1}{2} (e^{y} + \frac{d}{d y} [- e^{- y}])$

解题步骤 4

因为 $- 1$ 对于 $y$ 是常数，所以 $- e^{- y}$ 对 $y$ 的导数是 $- \frac{d}{d y} [e^{- y}]$ 。

$(e^{y} - e^{- y}) \frac{1}{2} (e^{y} - \frac{d}{d y} [e^{- y}])$

解题步骤 5

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ 等于 $f' (g (y)) g' (y)$ ，其中 $f (y) = e^{y}$ 且 $g (y) = - y$ 。

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解题步骤 5.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $- y$ 。

$(e^{y} - e^{- y}) \frac{1}{2} (e^{y} - (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d y} [- y]))$

解题步骤 5.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ 等于 $a^{u_{2}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$(e^{y} - e^{- y}) \frac{1}{2} (e^{y} - (e^{u_{2}} \frac{d}{d y} [- y]))$

解题步骤 5.3

使用 $- y$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$(e^{y} - e^{- y}) \frac{1}{2} (e^{y} - (e^{- y} \frac{d}{d y} [- y]))$

解题步骤 6

求微分。

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解题步骤 6.1

因为 $- 1$ 对于 $y$ 是常数，所以 $- y$ 对 $y$ 的导数是 $- \frac{d}{d y} [y]$ 。

$(e^{y} - e^{- y}) \frac{1}{2} (e^{y} - e^{- y} (- \frac{d}{d y} [y]))$

解题步骤 6.2

乘。

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解题步骤 6.2.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$(e^{y} - e^{- y}) \frac{1}{2} (e^{y} + 1 e^{- y} \frac{d}{d y} [y])$

解题步骤 6.2.2

将 $e^{- y}$ 乘以 $1$ 。

$(e^{y} - e^{- y}) \frac{1}{2} (e^{y} + e^{- y} \frac{d}{d y} [y])$

解题步骤 6.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$(e^{y} - e^{- y}) \frac{1}{2} (e^{y} + e^{- y} \cdot 1)$

解题步骤 6.4

将 $e^{- y}$ 乘以 $1$ 。

$(e^{y} - e^{- y}) \frac{1}{2} (e^{y} + e^{- y})$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

运用分配律。

$(e^{y} \frac{1}{2} - e^{- y} \frac{1}{2}) (e^{y} + e^{- y})$

解题步骤 7.2

合并项。

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解题步骤 7.2.1

组合 $e^{y}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$(\frac{e^{y}}{2} - e^{- y} \frac{1}{2}) (e^{y} + e^{- y})$

解题步骤 7.2.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $e^{- y}$ 。

$(\frac{e^{y}}{2} - \frac{e^{- y}}{2}) (e^{y} + e^{- y})$

解题步骤 7.3

重新排序 $(\frac{e^{y}}{2} - \frac{e^{- y}}{2}) (e^{y} + e^{- y})$ 的因式。

$(e^{y} + e^{- y}) (\frac{e^{y}}{2} - \frac{e^{- y}}{2})$

解题步骤 7.4

使用 FOIL 方法展开 $(e^{y} + e^{- y}) (\frac{e^{y}}{2} - \frac{e^{- y}}{2})$ 。

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解题步骤 7.4.1

运用分配律。

$e^{y} (\frac{e^{y}}{2} - \frac{e^{- y}}{2}) + e^{- y} (\frac{e^{y}}{2} - \frac{e^{- y}}{2})$

解题步骤 7.4.2

运用分配律。

$e^{y} \frac{e^{y}}{2} + e^{y} (- \frac{e^{- y}}{2}) + e^{- y} (\frac{e^{y}}{2} - \frac{e^{- y}}{2})$

解题步骤 7.4.3

运用分配律。

$e^{y} \frac{e^{y}}{2} + e^{y} (- \frac{e^{- y}}{2}) + e^{- y} \frac{e^{y}}{2} + e^{- y} (- \frac{e^{- y}}{2})$

解题步骤 7.5

化简并合并同类项。

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解题步骤 7.5.1

化简每一项。

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解题步骤 7.5.1.1

乘以 $e^{y} \frac{e^{y}}{2}$ 。

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解题步骤 7.5.1.1.1

组合 $e^{y}$ 和 $\frac{e^{y}}{2}$ 。

$\frac{e^{y} e^{y}}{2} + e^{y} (- \frac{e^{- y}}{2}) + e^{- y} \frac{e^{y}}{2} + e^{- y} (- \frac{e^{- y}}{2})$

解题步骤 7.5.1.1.2

通过指数相加将 $e^{y}$ 乘以 $e^{y}$ 。

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解题步骤 7.5.1.1.2.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{e^{y + y}}{2} + e^{y} (- \frac{e^{- y}}{2}) + e^{- y} \frac{e^{y}}{2} + e^{- y} (- \frac{e^{- y}}{2})$

解题步骤 7.5.1.1.2.2

将 $y$ 和 $y$ 相加。

$\frac{e^{2 y}}{2} + e^{y} (- \frac{e^{- y}}{2}) + e^{- y} \frac{e^{y}}{2} + e^{- y} (- \frac{e^{- y}}{2})$

解题步骤 7.5.1.2

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{e^{2 y}}{2} - e^{y} \frac{e^{- y}}{2} + e^{- y} \frac{e^{y}}{2} + e^{- y} (- \frac{e^{- y}}{2})$

解题步骤 7.5.1.3

乘以 $- e^{y} \frac{e^{- y}}{2}$ 。

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解题步骤 7.5.1.3.1

组合 $\frac{e^{- y}}{2}$ 和 $e^{y}$ 。

$\frac{e^{2 y}}{2} - \frac{e^{- y} e^{y}}{2} + e^{- y} \frac{e^{y}}{2} + e^{- y} (- \frac{e^{- y}}{2})$

解题步骤 7.5.1.3.2

通过指数相加将 $e^{- y}$ 乘以 $e^{y}$ 。

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解题步骤 7.5.1.3.2.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{e^{2 y}}{2} - \frac{e^{- y + y}}{2} + e^{- y} \frac{e^{y}}{2} + e^{- y} (- \frac{e^{- y}}{2})$

解题步骤 7.5.1.3.2.2

将 $- y$ 和 $y$ 相加。

$\frac{e^{2 y}}{2} - \frac{e^{0}}{2} + e^{- y} \frac{e^{y}}{2} + e^{- y} (- \frac{e^{- y}}{2})$

解题步骤 7.5.1.3.3

化简 $e^{0}$ 。

$\frac{e^{2 y}}{2} - \frac{1}{2} + e^{- y} \frac{e^{y}}{2} + e^{- y} (- \frac{e^{- y}}{2})$

解题步骤 7.5.1.4

乘以 $e^{- y} \frac{e^{y}}{2}$ 。

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解题步骤 7.5.1.4.1

组合 $e^{- y}$ 和 $\frac{e^{y}}{2}$ 。

$\frac{e^{2 y}}{2} - \frac{1}{2} + \frac{e^{- y} e^{y}}{2} + e^{- y} (- \frac{e^{- y}}{2})$

解题步骤 7.5.1.4.2

通过指数相加将 $e^{- y}$ 乘以 $e^{y}$ 。

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解题步骤 7.5.1.4.2.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{e^{2 y}}{2} - \frac{1}{2} + \frac{e^{- y + y}}{2} + e^{- y} (- \frac{e^{- y}}{2})$

解题步骤 7.5.1.4.2.2

将 $- y$ 和 $y$ 相加。

$\frac{e^{2 y}}{2} - \frac{1}{2} + \frac{e^{0}}{2} + e^{- y} (- \frac{e^{- y}}{2})$

解题步骤 7.5.1.4.3

化简 $e^{0}$ 。

$\frac{e^{2 y}}{2} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + e^{- y} (- \frac{e^{- y}}{2})$

解题步骤 7.5.1.5

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{e^{2 y}}{2} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - e^{- y} \frac{e^{- y}}{2}$

解题步骤 7.5.1.6

乘以 $- e^{- y} \frac{e^{- y}}{2}$ 。

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解题步骤 7.5.1.6.1

组合 $\frac{e^{- y}}{2}$ 和 $e^{- y}$ 。

$\frac{e^{2 y}}{2} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{e^{- y} e^{- y}}{2}$

解题步骤 7.5.1.6.2

通过指数相加将 $e^{- y}$ 乘以 $e^{- y}$ 。

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解题步骤 7.5.1.6.2.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{e^{2 y}}{2} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{e^{- y - y}}{2}$

解题步骤 7.5.1.6.2.2

从 $- y$ 中减去 $y$ 。

$\frac{e^{2 y}}{2} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{e^{- 2 y}}{2}$

解题步骤 7.5.2

将 $- \frac{1}{2}$ 和 $\frac{1}{2}$ 相加。

$\frac{e^{2 y}}{2} + 0 - \frac{e^{- 2 y}}{2}$

解题步骤 7.5.3

将 $\frac{e^{2 y}}{2}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{e^{2 y}}{2} - \frac{e^{- 2 y}}{2}$

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