微积分学示例

$\frac{y e^{x} + x e^{x} - e^{x}}{{(y + x)}^{2}}$

解题步骤 1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ 等于 $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ ，其中 $f (y) = y e^{x} + x e^{x} - e^{x}$ 且 $g (y) = {(y + x)}^{2}$ 。

$\frac{{(y + x)}^{2} \frac{d}{d y} [y e^{x} + x e^{x} - e^{x}] - (y e^{x} + x e^{x} - e^{x}) \frac{d}{d y} [{(y + x)}^{2}]}{{({(y + x)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2

求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

将 ${({(y + x)}^{2})}^{2}$ 中的指数相乘。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{{(y + x)}^{2} \frac{d}{d y} [y e^{x} + x e^{x} - e^{x}] - (y e^{x} + x e^{x} - e^{x}) \frac{d}{d y} [{(y + x)}^{2}]}{{(y + x)}^{2 \cdot 2}}$

解题步骤 2.1.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{{(y + x)}^{2} \frac{d}{d y} [y e^{x} + x e^{x} - e^{x}] - (y e^{x} + x e^{x} - e^{x}) \frac{d}{d y} [{(y + x)}^{2}]}{{(y + x)}^{4}}$

解题步骤 2.2

根据加法法则， $y e^{x} + x e^{x} - e^{x}$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [y e^{x}] + \frac{d}{d y} [x e^{x}] + \frac{d}{d y} [- e^{x}]$ 。

$\frac{{(y + x)}^{2} (\frac{d}{d y} [y e^{x}] + \frac{d}{d y} [x e^{x}] + \frac{d}{d y} [- e^{x}]) - (y e^{x} + x e^{x} - e^{x}) \frac{d}{d y} [{(y + x)}^{2}]}{{(y + x)}^{4}}$

解题步骤 2.3

因为 $e^{x}$ 对于 $y$ 是常数，所以 $y e^{x}$ 对 $y$ 的导数是 $e^{x} \frac{d}{d y} [y]$ 。

$\frac{{(y + x)}^{2} (e^{x} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [x e^{x}] + \frac{d}{d y} [- e^{x}]) - (y e^{x} + x e^{x} - e^{x}) \frac{d}{d y} [{(y + x)}^{2}]}{{(y + x)}^{4}}$

解题步骤 2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{{(y + x)}^{2} (e^{x} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [x e^{x}] + \frac{d}{d y} [- e^{x}]) - (y e^{x} + x e^{x} - e^{x}) \frac{d}{d y} [{(y + x)}^{2}]}{{(y + x)}^{4}}$

解题步骤 2.5

将 $e^{x}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{{(y + x)}^{2} (e^{x} + \frac{d}{d y} [x e^{x}] + \frac{d}{d y} [- e^{x}]) - (y e^{x} + x e^{x} - e^{x}) \frac{d}{d y} [{(y + x)}^{2}]}{{(y + x)}^{4}}$

解题步骤 2.6

因为 $x e^{x}$ 对于 $y$ 是常数，所以 $x e^{x}$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{{(y + x)}^{2} (e^{x} + 0 + \frac{d}{d y} [- e^{x}]) - (y e^{x} + x e^{x} - e^{x}) \frac{d}{d y} [{(y + x)}^{2}]}{{(y + x)}^{4}}$

解题步骤 2.7

将 $e^{x}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{{(y + x)}^{2} (e^{x} + \frac{d}{d y} [- e^{x}]) - (y e^{x} + x e^{x} - e^{x}) \frac{d}{d y} [{(y + x)}^{2}]}{{(y + x)}^{4}}$

解题步骤 2.8

因为 $- e^{x}$ 对于 $y$ 是常数，所以 $- e^{x}$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{{(y + x)}^{2} (e^{x} + 0) - (y e^{x} + x e^{x} - e^{x}) \frac{d}{d y} [{(y + x)}^{2}]}{{(y + x)}^{4}}$

解题步骤 2.9

将 $e^{x}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{{(y + x)}^{2} e^{x} - (y e^{x} + x e^{x} - e^{x}) \frac{d}{d y} [{(y + x)}^{2}]}{{(y + x)}^{4}}$

解题步骤 3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ 等于 $f' (g (y)) g' (y)$ ，其中 $f (y) = y^{2}$ 且 $g (y) = y + x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $y + x$ 。

$\frac{{(y + x)}^{2} e^{x} - (y e^{x} + x e^{x} - e^{x}) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d y} [y + x])}{{(y + x)}^{4}}$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{{(y + x)}^{2} e^{x} - (y e^{x} + x e^{x} - e^{x}) (2 u \frac{d}{d y} [y + x])}{{(y + x)}^{4}}$

解题步骤 3.3

使用 $y + x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{{(y + x)}^{2} e^{x} - (y e^{x} + x e^{x} - e^{x}) (2 (y + x) \frac{d}{d y} [y + x])}{{(y + x)}^{4}}$

解题步骤 4

通过提取公因式进行化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{{(y + x)}^{2} e^{x} - 2 (y e^{x} + x e^{x} - e^{x}) ((y + x) \frac{d}{d y} [y + x])}{{(y + x)}^{4}}$

解题步骤 4.2

从 ${(y + x)}^{2} e^{x} - 2 (y e^{x} + x e^{x} - e^{x}) ((y + x) \frac{d}{d y} [y + x])$ 中分解出因数 $y + x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.1

从 ${(y + x)}^{2} e^{x}$ 中分解出因数 $y + x$ 。

$\frac{(y + x) ((y + x) e^{x}) - 2 (y e^{x} + x e^{x} - e^{x}) ((y + x) \frac{d}{d y} [y + x])}{{(y + x)}^{4}}$

解题步骤 4.2.2

从 $- 2 (y e^{x} + x e^{x} - e^{x}) ((y + x) \frac{d}{d y} [y + x])$ 中分解出因数 $y + x$ 。

$\frac{(y + x) ((y + x) e^{x}) + (y + x) (- 2 (y e^{x} + x e^{x} - e^{x}) (\frac{d}{d y} [y + x]))}{{(y + x)}^{4}}$

解题步骤 4.2.3

从 $(y + x) ((y + x) e^{x}) + (y + x) (- 2 (y e^{x} + x e^{x} - e^{x}) (\frac{d}{d y} [y + x]))$ 中分解出因数 $y + x$ 。

$\frac{(y + x) ((y + x) e^{x} - 2 (y e^{x} + x e^{x} - e^{x}) (\frac{d}{d y} [y + x]))}{{(y + x)}^{4}}$

解题步骤 5

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1

从 ${(y + x)}^{4}$ 中分解出因数 $y + x$ 。

$\frac{(y + x) ((y + x) e^{x} - 2 (y e^{x} + x e^{x} - e^{x}) (\frac{d}{d y} [y + x]))}{(y + x) {(y + x)}^{3}}$

解题步骤 5.2

约去公因数。

$\frac{(y + x) ((y + x) e^{x} - 2 (y e^{x} + x e^{x} - e^{x}) (\frac{d}{d y} [y + x]))}{(y + x) {(y + x)}^{3}}$

解题步骤 5.3

重写表达式。

$\frac{(y + x) e^{x} - 2 (y e^{x} + x e^{x} - e^{x}) (\frac{d}{d y} [y + x])}{{(y + x)}^{3}}$

解题步骤 6

根据加法法则， $y + x$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [x]$ 。

$\frac{(y + x) e^{x} - 2 (y e^{x} + x e^{x} - e^{x}) (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [x])}{{(y + x)}^{3}}$

解题步骤 7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{(y + x) e^{x} - 2 (y e^{x} + x e^{x} - e^{x}) (1 + \frac{d}{d y} [x])}{{(y + x)}^{3}}$

解题步骤 8

因为 $x$ 对于 $y$ 是常数，所以 $x$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(y + x) e^{x} - 2 (y e^{x} + x e^{x} - e^{x}) (1 + 0)}{{(y + x)}^{3}}$

解题步骤 9

化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{(y + x) e^{x} - 2 (y e^{x} + x e^{x} - e^{x}) \cdot 1}{{(y + x)}^{3}}$

解题步骤 9.2

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{(y + x) e^{x} - 2 (y e^{x} + x e^{x} - e^{x})}{{(y + x)}^{3}}$

解题步骤 10

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 10.1

运用分配律。

$\frac{y e^{x} + x e^{x} - 2 (y e^{x} + x e^{x} - e^{x})}{{(y + x)}^{3}}$

解题步骤 10.2

运用分配律。

$\frac{y e^{x} + x e^{x} - 2 (y e^{x}) - 2 (x e^{x}) - 2 (- e^{x})}{{(y + x)}^{3}}$

解题步骤 10.3

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 10.3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{y e^{x} + x e^{x} - 2 y e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}}{{(y + x)}^{3}}$

解题步骤 10.3.2

从 $y e^{x}$ 中减去 $2 y e^{x}$ 。

$\frac{- y e^{x} + x e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}}{{(y + x)}^{3}}$

解题步骤 10.3.3

从 $x e^{x}$ 中减去 $2 x e^{x}$ 。

$\frac{- y e^{x} - x e^{x} + 2 e^{x}}{{(y + x)}^{3}}$

解题步骤 10.4

重新排序项。

$\frac{- e^{x} y - e^{x} x + 2 e^{x}}{{(x + y)}^{3}}$

解题步骤 10.5

从 $- e^{x} y - e^{x} x + 2 e^{x}$ 中分解出因数 $e^{x}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 10.5.1

从 $- e^{x} y$ 中分解出因数 $e^{x}$ 。

$\frac{e^{x} (- y) - e^{x} x + 2 e^{x}}{{(x + y)}^{3}}$

解题步骤 10.5.2

从 $- e^{x} x$ 中分解出因数 $e^{x}$ 。

$\frac{e^{x} (- y) + e^{x} (- x) + 2 e^{x}}{{(x + y)}^{3}}$

解题步骤 10.5.3

从 $2 e^{x}$ 中分解出因数 $e^{x}$ 。

$\frac{e^{x} (- y) + e^{x} (- x) + e^{x} \cdot 2}{{(x + y)}^{3}}$

解题步骤 10.5.4

从 $e^{x} (- y) + e^{x} (- x)$ 中分解出因数 $e^{x}$ 。

$\frac{e^{x} (- y - x) + e^{x} \cdot 2}{{(x + y)}^{3}}$

解题步骤 10.5.5

从 $e^{x} (- y - x) + e^{x} \cdot 2$ 中分解出因数 $e^{x}$ 。

$\frac{e^{x} (- y - x + 2)}{{(x + y)}^{3}}$

解题步骤 10.6

从 $- y$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{e^{x} (- (y) - x + 2)}{{(x + y)}^{3}}$

解题步骤 10.7

从 $- x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{e^{x} (- (y) - (x) + 2)}{{(x + y)}^{3}}$

解题步骤 10.8

从 $- (y) - (x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{e^{x} (- (y + x) + 2)}{{(x + y)}^{3}}$

解题步骤 10.9

将 $2$ 重写为 $- 1 (- 2)$ 。

$\frac{e^{x} (- (y + x) - 1 (- 2))}{{(x + y)}^{3}}$

解题步骤 10.10

从 $- (y + x) - 1 (- 2)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{e^{x} (- (y + x - 2))}{{(x + y)}^{3}}$

解题步骤 10.11

将 $- (y + x - 2)$ 重写为 $- 1 (y + x - 2)$ 。

$\frac{e^{x} (- 1 (y + x - 2))}{{(x + y)}^{3}}$

解题步骤 10.12

将负号移到分数的前面。

$- \frac{e^{x} (y + x - 2)}{{(x + y)}^{3}}$

微积分学 示例

微积分学示例