微积分学示例

$y = x {(x^{3} + 7)}^{5}$

解题步骤 1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = {(x^{3} + 7)}^{5}$ 。

$x \frac{d}{d x} [{(x^{3} + 7)}^{5}] + {(x^{3} + 7)}^{5} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{5}$ 且 $g (x) = x^{3} + 7$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{3} + 7$ 。

$x (\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d x} [x^{3} + 7]) + {(x^{3} + 7)}^{5} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 5$ 。

$x (5 u^{4} \frac{d}{d x} [x^{3} + 7]) + {(x^{3} + 7)}^{5} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.3

使用 $x^{3} + 7$ 替换所有出现的 $u$ 。

$x (5 {(x^{3} + 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{3} + 7]) + {(x^{3} + 7)}^{5} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $x^{3} + 7$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [7]$ 。

$x (5 {(x^{3} + 7)}^{4} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [7])) + {(x^{3} + 7)}^{5} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$x (5 {(x^{3} + 7)}^{4} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [7])) + {(x^{3} + 7)}^{5} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3.3

因为 $7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $7$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$x (5 {(x^{3} + 7)}^{4} (3 x^{2} + 0)) + {(x^{3} + 7)}^{5} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3.4

化简表达式。

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解题步骤 3.4.1

将 $3 x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$x (5 {(x^{3} + 7)}^{4} (3 x^{2})) + {(x^{3} + 7)}^{5} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3.4.2

将 $3$ 乘以 $5$ 。

$x (15 {(x^{3} + 7)}^{4} x^{2}) + {(x^{3} + 7)}^{5} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 4

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$x^{2} x^{1} (15 {(x^{3} + 7)}^{4}) + {(x^{3} + 7)}^{5} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x^{2 + 1} (15 {(x^{3} + 7)}^{4}) + {(x^{3} + 7)}^{5} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 6

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$x^{3} (15 {(x^{3} + 7)}^{4}) + {(x^{3} + 7)}^{5} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$x^{3} (15 {(x^{3} + 7)}^{4}) + {(x^{3} + 7)}^{5} \cdot 1$

解题步骤 8

将 ${(x^{3} + 7)}^{5}$ 乘以 $1$ 。

$x^{3} (15 {(x^{3} + 7)}^{4}) + {(x^{3} + 7)}^{5}$

解题步骤 9

化简。

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解题步骤 9.1

从 $x^{3} (15 {(x^{3} + 7)}^{4}) + {(x^{3} + 7)}^{5}$ 中分解出因数 ${(x^{3} + 7)}^{4}$ 。

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解题步骤 9.1.1

从 $x^{3} (15 {(x^{3} + 7)}^{4})$ 中分解出因数 ${(x^{3} + 7)}^{4}$ 。

${(x^{3} + 7)}^{4} (x^{3} \cdot (15)) + {(x^{3} + 7)}^{5}$

解题步骤 9.1.2

从 ${(x^{3} + 7)}^{5}$ 中分解出因数 ${(x^{3} + 7)}^{4}$ 。

${(x^{3} + 7)}^{4} (x^{3} \cdot (15)) + {(x^{3} + 7)}^{4} (x^{3} + 7)$

解题步骤 9.1.3

从 ${(x^{3} + 7)}^{4} (x^{3} \cdot (15)) + {(x^{3} + 7)}^{4} (x^{3} + 7)$ 中分解出因数 ${(x^{3} + 7)}^{4}$ 。

${(x^{3} + 7)}^{4} (x^{3} \cdot (15) + x^{3} + 7)$

解题步骤 9.2

合并项。

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解题步骤 9.2.1

将 $15$ 移到 $x^{3}$ 的左侧。

${(x^{3} + 7)}^{4} (15 \cdot x^{3} + x^{3} + 7)$

解题步骤 9.2.2

将 $15 x^{3}$ 和 $x^{3}$ 相加。

${(x^{3} + 7)}^{4} (16 x^{3} + 7)$

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