微积分学示例

$y = x + \frac{a}{x} - \frac{b}{x^{3}}$

解题步骤 1

求微分。

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解题步骤 1.1

根据加法法则， $x + \frac{a}{x} - \frac{b}{x^{3}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{a}{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{b}{x^{3}}]$ 。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{a}{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{b}{x^{3}}]$

解题步骤 1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [\frac{a}{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{b}{x^{3}}]$

解题步骤 2

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{a}{x}]$ 。

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解题步骤 2.1

因为 $a$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{a}{x}$ 对 $x$ 的导数是 $a \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ 。

$1 + a \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{b}{x^{3}}]$

解题步骤 2.2

将 $\frac{1}{x}$ 重写为 $x^{- 1}$ 。

$1 + a \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{b}{x^{3}}]$

解题步骤 2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$1 + a (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [- \frac{b}{x^{3}}]$

解题步骤 3

计算 $\frac{d}{d x} [- \frac{b}{x^{3}}]$ 。

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解题步骤 3.1

因为 $- b$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{b}{x^{3}}$ 对 $x$ 的导数是 $- b \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ 。

$1 + a (- x^{- 2}) - b \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

解题步骤 3.2

将 $\frac{1}{x^{3}}$ 重写为 ${(x^{3})}^{- 1}$ 。

$1 + a (- x^{- 2}) - b \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}]$

解题步骤 3.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 1}$ 且 $g (x) = x^{3}$ 。

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解题步骤 3.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{3}$ 。

$1 + a (- x^{- 2}) - b (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3}])$

解题步骤 3.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$1 + a (- x^{- 2}) - b (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

解题步骤 3.3.3

使用 $x^{3}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$1 + a (- x^{- 2}) - b (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

解题步骤 3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$1 + a (- x^{- 2}) - b (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2}))$

解题步骤 3.5

将 ${(x^{3})}^{- 2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.5.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$1 + a (- x^{- 2}) - b (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2}))$

解题步骤 3.5.2

将 $3$ 乘以 $- 2$ 。

$1 + a (- x^{- 2}) - b (- x^{- 6} (3 x^{2}))$

解题步骤 3.6

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$1 + a (- x^{- 2}) - b (- 3 x^{- 6} x^{2})$

解题步骤 3.7

通过指数相加将 $x^{- 6}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 3.7.1

移动 $x^{2}$ 。

$1 + a (- x^{- 2}) - b (- 3 (x^{2} x^{- 6}))$

解题步骤 3.7.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$1 + a (- x^{- 2}) - b (- 3 x^{2 - 6})$

解题步骤 3.7.3

从 $2$ 中减去 $6$ 。

$1 + a (- x^{- 2}) - b (- 3 x^{- 4})$

解题步骤 3.8

将 $- 3$ 乘以 $- 1$ 。

$1 + a (- x^{- 2}) + 3 b x^{- 4}$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$1 + a (- \frac{1}{x^{2}}) + 3 b x^{- 4}$

解题步骤 4.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$1 + a (- \frac{1}{x^{2}}) + 3 b \frac{1}{x^{4}}$

解题步骤 4.3

合并项。

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解题步骤 4.3.1

组合 $a$ 和 $\frac{1}{x^{2}}$ 。

$1 - \frac{a}{x^{2}} + 3 b \frac{1}{x^{4}}$

解题步骤 4.3.2

组合 $3$ 和 $\frac{1}{x^{4}}$ 。

$1 - \frac{a}{x^{2}} + b \frac{3}{x^{4}}$

解题步骤 4.3.3

组合 $b$ 和 $\frac{3}{x^{4}}$ 。

$1 - \frac{a}{x^{2}} + \frac{b \cdot 3}{x^{4}}$

解题步骤 4.3.4

将 $3$ 移到 $b$ 的左侧。

$1 - \frac{a}{x^{2}} + \frac{3 b}{x^{4}}$

解题步骤 4.4

重新排序项。

$- \frac{a}{x^{2}} + \frac{3 b}{x^{4}} + 1$

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