微积分学示例

$y = x (9 - x^{2})$

解题步骤 1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = 9 - x^{2}$ 。

$x \frac{d}{d x} [9 - x^{2}] + (9 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $9 - x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 。

$x (\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (9 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.2

因为 $9$ 对于 $x$ 是常数，所以 $9$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$x (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (9 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.3

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 相加。

$x \frac{d}{d x} [- x^{2}] + (9 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.4

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$x (- \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (9 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$x (- (2 x)) + (9 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.6

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$x (- 2 x) + (9 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$- 2 (x^{1} x) + (9 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 4

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$- 2 (x^{1} x^{1}) + (9 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- 2 x^{1 + 1} + (9 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$- 2 x^{2} + (9 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 2 x^{2} + (9 - x^{2}) \cdot 1$

解题步骤 8

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 8.1

将 $9 - x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$- 2 x^{2} + 9 - x^{2}$

解题步骤 8.2

从 $- 2 x^{2}$ 中减去 $x^{2}$ 。

$- 3 x^{2} + 9$

微积分学 示例

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