微积分学示例

$y = x (4 x^{3} + 3 x^{2} - 6)$

解题步骤 1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = 4 x^{3} + 3 x^{2} - 6$ 。

$x \frac{d}{d x} [4 x^{3} + 3 x^{2} - 6] + (4 x^{3} + 3 x^{2} - 6) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $4 x^{3} + 3 x^{2} - 6$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6]$ 。

$x (\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6]) + (4 x^{3} + 3 x^{2} - 6) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.2

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$x (4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6]) + (4 x^{3} + 3 x^{2} - 6) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$x (4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6]) + (4 x^{3} + 3 x^{2} - 6) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.4

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$x (12 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6]) + (4 x^{3} + 3 x^{2} - 6) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.5

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$x (12 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6]) + (4 x^{3} + 3 x^{2} - 6) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$x (12 x^{2} + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 6]) + (4 x^{3} + 3 x^{2} - 6) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.7

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$x (12 x^{2} + 6 x + \frac{d}{d x} [- 6]) + (4 x^{3} + 3 x^{2} - 6) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.8

因为 $- 6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 6$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$x (12 x^{2} + 6 x + 0) + (4 x^{3} + 3 x^{2} - 6) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.9

将 $12 x^{2} + 6 x$ 和 $0$ 相加。

$x (12 x^{2} + 6 x) + (4 x^{3} + 3 x^{2} - 6) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.10

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$x (12 x^{2} + 6 x) + (4 x^{3} + 3 x^{2} - 6) \cdot 1$

解题步骤 2.11

将 $4 x^{3} + 3 x^{2} - 6$ 乘以 $1$ 。

$x (12 x^{2} + 6 x) + 4 x^{3} + 3 x^{2} - 6$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

运用分配律。

$x (12 x^{2}) + x (6 x) + 4 x^{3} + 3 x^{2} - 6$

解题步骤 3.2

合并项。

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解题步骤 3.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$12 (x^{1} x^{2}) + x (6 x) + 4 x^{3} + 3 x^{2} - 6$

解题步骤 3.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$12 x^{1 + 2} + x (6 x) + 4 x^{3} + 3 x^{2} - 6$

解题步骤 3.2.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$12 x^{3} + x (6 x) + 4 x^{3} + 3 x^{2} - 6$

解题步骤 3.2.4

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$12 x^{3} + 6 (x^{1} x) + 4 x^{3} + 3 x^{2} - 6$

解题步骤 3.2.5

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$12 x^{3} + 6 (x^{1} x^{1}) + 4 x^{3} + 3 x^{2} - 6$

解题步骤 3.2.6

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$12 x^{3} + 6 x^{1 + 1} + 4 x^{3} + 3 x^{2} - 6$

解题步骤 3.2.7

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$12 x^{3} + 6 x^{2} + 4 x^{3} + 3 x^{2} - 6$

解题步骤 3.2.8

将 $12 x^{3}$ 和 $4 x^{3}$ 相加。

$16 x^{3} + 6 x^{2} + 3 x^{2} - 6$

解题步骤 3.2.9

将 $6 x^{2}$ 和 $3 x^{2}$ 相加。

$16 x^{3} + 9 x^{2} - 6$

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