微积分学示例

$y = \sin (\ln (x)) + \cos (\ln (x))$

解题步骤 1

根据加法法则， $\sin (\ln (x)) + \cos (\ln (x))$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\sin (\ln (x))] + \frac{d}{d x} [\cos (\ln (x))]$ 。

$\frac{d}{d x} [\sin (\ln (x))] + \frac{d}{d x} [\cos (\ln (x))]$

解题步骤 2

计算 $\frac{d}{d x} [\sin (\ln (x))]$ 。

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解题步骤 2.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = \ln (x)$ 。

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解题步骤 2.1.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $\ln (x)$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (\ln (x))]$

解题步骤 2.1.2

$\sin (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $\cos (u_{1})$ 。

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (\ln (x))]$

解题步骤 2.1.3

使用 $\ln (x)$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\cos (\ln (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (\ln (x))]$

解题步骤 2.2

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$\cos (\ln (x)) \frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [\cos (\ln (x))]$

解题步骤 2.3

组合 $\cos (\ln (x))$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{\cos (\ln (x))}{x} + \frac{d}{d x} [\cos (\ln (x))]$

解题步骤 3

计算 $\frac{d}{d x} [\cos (\ln (x))]$ 。

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解题步骤 3.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \cos (x)$ 且 $g (x) = \ln (x)$ 。

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解题步骤 3.1.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $\ln (x)$ 。

$\frac{\cos (\ln (x))}{x} + \frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

解题步骤 3.1.2

$\cos (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $- \sin (u_{2})$ 。

$\frac{\cos (\ln (x))}{x} - \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

解题步骤 3.1.3

使用 $\ln (x)$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{\cos (\ln (x))}{x} - \sin (\ln (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

解题步骤 3.2

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{\cos (\ln (x))}{x} - \sin (\ln (x)) \frac{1}{x}$

解题步骤 3.3

组合 $\frac{1}{x}$ 和 $\sin (\ln (x))$ 。

$\frac{\cos (\ln (x))}{x} - \frac{\sin (\ln (x))}{x}$

微积分学 示例