微积分学示例

$x e^{\frac{x}{y}}$

解题步骤 1

因为 $x$ 对于 $y$ 是常数，所以 $x e^{\frac{x}{y}}$ 对 $y$ 的导数是 $x \frac{d}{d y} [e^{\frac{x}{y}}]$ 。

$x \frac{d}{d y} [e^{\frac{x}{y}}]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ 等于 $f' (g (y)) g' (y)$ ，其中 $f (y) = e^{y}$ 且 $g (y) = \frac{x}{y}$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\frac{x}{y}$ 。

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}])$

解题步骤 2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$x (e^{u} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}])$

解题步骤 2.3

使用 $\frac{x}{y}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$x (e^{\frac{x}{y}} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}])$

解题步骤 3

因为 $x$ 对于 $y$ 是常数，所以 $\frac{x}{y}$ 对 $y$ 的导数是 $x \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}]$ 。

$x (e^{\frac{x}{y}} (x \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}]))$

解题步骤 4

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$x^{1} x (e^{\frac{x}{y}} (\frac{d}{d y} [\frac{1}{y}]))$

解题步骤 5

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$x^{1} x^{1} (e^{\frac{x}{y}} (\frac{d}{d y} [\frac{1}{y}]))$

解题步骤 6

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x^{1 + 1} (e^{\frac{x}{y}} (\frac{d}{d y} [\frac{1}{y}]))$

解题步骤 7

化简表达式。

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解题步骤 7.1

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$x^{2} (e^{\frac{x}{y}} (\frac{d}{d y} [\frac{1}{y}]))$

解题步骤 7.2

将 $\frac{1}{y}$ 重写为 $y^{- 1}$ 。

$x^{2} (e^{\frac{x}{y}} \frac{d}{d y} [y^{- 1}])$

解题步骤 8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$x^{2} (e^{\frac{x}{y}} (- y^{- 2}))$

解题步骤 9

化简。

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解题步骤 9.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$x^{2} (e^{\frac{x}{y}} (- \frac{1}{y^{2}}))$

解题步骤 9.2

合并项。

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解题步骤 9.2.1

组合 $e^{\frac{x}{y}}$ 和 $\frac{1}{y^{2}}$ 。

$x^{2} (- \frac{e^{\frac{x}{y}}}{y^{2}})$

解题步骤 9.2.2

组合 $x^{2}$ 和 $\frac{e^{\frac{x}{y}}}{y^{2}}$ 。

$- \frac{x^{2} e^{\frac{x}{y}}}{y^{2}}$

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