微积分学示例

$\frac{x - y}{x + y}$

解题步骤 1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ 等于 $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ ，其中 $f (y) = x - y$ 且 $g (y) = x + y$ 。

$\frac{(x + y) \frac{d}{d y} [x - y] - (x - y) \frac{d}{d y} [x + y]}{{(x + y)}^{2}}$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $x - y$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- y]$ 。

$\frac{(x + y) (\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- y]) - (x - y) \frac{d}{d y} [x + y]}{{(x + y)}^{2}}$

解题步骤 2.2

因为 $x$ 对于 $y$ 是常数，所以 $x$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(x + y) (0 + \frac{d}{d y} [- y]) - (x - y) \frac{d}{d y} [x + y]}{{(x + y)}^{2}}$

解题步骤 2.3

将 $0$ 和 $\frac{d}{d y} [- y]$ 相加。

$\frac{(x + y) \frac{d}{d y} [- y] - (x - y) \frac{d}{d y} [x + y]}{{(x + y)}^{2}}$

解题步骤 2.4

因为 $- 1$ 对于 $y$ 是常数，所以 $- y$ 对 $y$ 的导数是 $- \frac{d}{d y} [y]$ 。

$\frac{(x + y) (- \frac{d}{d y} [y]) - (x - y) \frac{d}{d y} [x + y]}{{(x + y)}^{2}}$

解题步骤 2.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{(x + y) (- 1 \cdot 1) - (x - y) \frac{d}{d y} [x + y]}{{(x + y)}^{2}}$

解题步骤 2.6

化简表达式。

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解题步骤 2.6.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{(x + y) \cdot - 1 - (x - y) \frac{d}{d y} [x + y]}{{(x + y)}^{2}}$

解题步骤 2.6.2

将 $- 1$ 移到 $x + y$ 的左侧。

$\frac{- 1 \cdot (x + y) - (x - y) \frac{d}{d y} [x + y]}{{(x + y)}^{2}}$

解题步骤 2.6.3

将 $- 1 (x + y)$ 重写为 $- (x + y)$ 。

$\frac{- (x + y) - (x - y) \frac{d}{d y} [x + y]}{{(x + y)}^{2}}$

解题步骤 2.7

根据加法法则， $x + y$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y]$ 。

$\frac{- (x + y) - (x - y) (\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y])}{{(x + y)}^{2}}$

解题步骤 2.8

因为 $x$ 对于 $y$ 是常数，所以 $x$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{- (x + y) - (x - y) (0 + \frac{d}{d y} [y])}{{(x + y)}^{2}}$

解题步骤 2.9

将 $0$ 和 $\frac{d}{d y} [y]$ 相加。

$\frac{- (x + y) - (x - y) \frac{d}{d y} [y]}{{(x + y)}^{2}}$

解题步骤 2.10

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{- (x + y) - (x - y) \cdot 1}{{(x + y)}^{2}}$

解题步骤 2.11

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- (x + y) - (x - y)}{{(x + y)}^{2}}$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

运用分配律。

$\frac{- x - y - (x - y)}{{(x + y)}^{2}}$

解题步骤 3.2

运用分配律。

$\frac{- x - y - x - - y}{{(x + y)}^{2}}$

解题步骤 3.3

化简分子。

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解题步骤 3.3.1

乘以 $- - y$ 。

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解题步骤 3.3.1.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{- x - y - x + 1 y}{{(x + y)}^{2}}$

解题步骤 3.3.1.2

将 $y$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- x - y - x + y}{{(x + y)}^{2}}$

解题步骤 3.3.2

合并 $- x - y - x + y$ 中相反的项。

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解题步骤 3.3.2.1

将 $- y$ 和 $y$ 相加。

$\frac{- x - x + 0}{{(x + y)}^{2}}$

解题步骤 3.3.2.2

将 $- x - x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{- x - x}{{(x + y)}^{2}}$

解题步骤 3.3.3

从 $- x$ 中减去 $x$ 。

$\frac{- 2 x}{{(x + y)}^{2}}$

解题步骤 3.4

将负号移到分数的前面。

$- \frac{2 x}{{(x + y)}^{2}}$

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