微积分学示例

$(e^{x} + 1) (e^{- x} + 1)$

解题步骤 1

化简。

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解题步骤 1.1

使用 FOIL 方法展开 $(e^{x} + 1) (e^{- x} + 1)$ 。

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解题步骤 1.1.1

运用分配律。

$\int e^{x} (e^{- x} + 1) + 1 (e^{- x} + 1) d x$

解题步骤 1.1.2

运用分配律。

$\int e^{x} e^{- x} + e^{x} \cdot 1 + 1 (e^{- x} + 1) d x$

解题步骤 1.1.3

运用分配律。

$\int e^{x} e^{- x} + e^{x} \cdot 1 + 1 e^{- x} + 1 \cdot 1 d x$

解题步骤 1.2

化简并合并同类项。

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解题步骤 1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.2.1.1

通过指数相加将 $e^{x}$ 乘以 $e^{- x}$ 。

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解题步骤 1.2.1.1.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int e^{x - x} + e^{x} \cdot 1 + 1 e^{- x} + 1 \cdot 1 d x$

解题步骤 1.2.1.1.2

从 $x$ 中减去 $x$ 。

$\int e^{0} + e^{x} \cdot 1 + 1 e^{- x} + 1 \cdot 1 d x$

解题步骤 1.2.1.2

化简 $e^{0}$ 。

$\int 1 + e^{x} \cdot 1 + 1 e^{- x} + 1 \cdot 1 d x$

解题步骤 1.2.1.3

将 $e^{x}$ 乘以 $1$ 。

$\int 1 + e^{x} + 1 e^{- x} + 1 \cdot 1 d x$

解题步骤 1.2.1.4

将 $e^{- x}$ 乘以 $1$ 。

$\int 1 + e^{x} + e^{- x} + 1 \cdot 1 d x$

解题步骤 1.2.1.5

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$\int 1 + e^{x} + e^{- x} + 1 d x$

解题步骤 1.2.2

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\int 2 + e^{x} + e^{- x} d x$

解题步骤 2

将单个积分拆分为多个积分。

$\int 2 d x + \int e^{x} d x + \int e^{- x} d x$

解题步骤 3

应用常数不变法则。

$2 x + C + \int e^{x} d x + \int e^{- x} d x$

解题步骤 4

$e^{x}$ 对 $x$ 的积分为 $e^{x}$ 。

$2 x + C + e^{x} + C + \int e^{- x} d x$

解题步骤 5

使 $u = - x$ 。然后使 $d u = - d x$ ，以便 $- d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 5.1

设 $u = - x$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 5.1.1

对 $- x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [- x]$

解题步骤 5.1.2

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 5.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 1 \cdot 1$

解题步骤 5.1.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- 1$

解题步骤 5.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$2 x + C + e^{x} + C + \int - e^{u} d u$

解题步骤 6

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$2 x + C + e^{x} + C - \int e^{u} d u$

解题步骤 7

$e^{u}$ 对 $u$ 的积分为 $e^{u}$ 。

$2 x + C + e^{x} + C - (e^{u} + C)$

解题步骤 8

化简。

$2 x + e^{x} - e^{u} + C$

解题步骤 9

使用 $- x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$2 x + e^{x} - e^{- x} + C$

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