微积分学示例

${(2 t^{2} - 1)}^{2}$

解题步骤 1

展开 ${(2 t^{2} - 1)}^{2}$ 。

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解题步骤 1.1

将 ${(2 t^{2} - 1)}^{2}$ 重写为 $(2 t^{2} - 1) (2 t^{2} - 1)$ 。

$\int (2 t^{2} - 1) (2 t^{2} - 1) d t$

解题步骤 1.2

运用分配律。

$\int 2 t^{2} (2 t^{2} - 1) - 1 (2 t^{2} - 1) d t$

解题步骤 1.3

运用分配律。

$\int 2 t^{2} (2 t^{2}) + 2 t^{2} \cdot - 1 - 1 (2 t^{2} - 1) d t$

解题步骤 1.4

运用分配律。

$\int 2 t^{2} (2 t^{2}) + 2 t^{2} \cdot - 1 - 1 (2 t^{2}) - 1 \cdot - 1 d t$

解题步骤 1.5

移动 $t^{2}$ 。

$\int 2 \cdot 2 t^{2} t^{2} + 2 t^{2} \cdot - 1 - 1 (2 t^{2}) - 1 \cdot - 1 d t$

解题步骤 1.6

移动 $t^{2}$ 。

$\int 2 \cdot 2 t^{2} t^{2} + 2 \cdot - 1 t^{2} - 1 (2 t^{2}) - 1 \cdot - 1 d t$

解题步骤 1.7

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\int 4 t^{2} t^{2} + 2 \cdot - 1 t^{2} - 1 \cdot 2 t^{2} - 1 \cdot - 1 d t$

解题步骤 1.8

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int 4 t^{2 + 2} + 2 \cdot - 1 t^{2} - 1 \cdot 2 t^{2} - 1 \cdot - 1 d t$

解题步骤 1.9

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$\int 4 t^{4} + 2 \cdot - 1 t^{2} - 1 \cdot 2 t^{2} - 1 \cdot - 1 d t$

解题步骤 1.10

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\int 4 t^{4} - 2 t^{2} - 1 \cdot 2 t^{2} - 1 \cdot - 1 d t$

解题步骤 1.11

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\int 4 t^{4} - 2 t^{2} - 2 t^{2} - 1 \cdot - 1 d t$

解题步骤 1.12

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\int 4 t^{4} - 2 t^{2} - 2 t^{2} + 1 d t$

解题步骤 1.13

从 $- 2 t^{2}$ 中减去 $2 t^{2}$ 。

$\int 4 t^{4} - 4 t^{2} + 1 d t$

解题步骤 2

将单个积分拆分为多个积分。

$\int 4 t^{4} d t + \int - 4 t^{2} d t + \int d t$

解题步骤 3

由于 $4$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $4$ 移到积分外。

$4 \int t^{4} d t + \int - 4 t^{2} d t + \int d t$

解题步骤 4

根据幂法则， $t^{4}$ 对 $t$ 的积分是 $\frac{1}{5} t^{5}$ 。

$4 (\frac{1}{5} t^{5} + C) + \int - 4 t^{2} d t + \int d t$

解题步骤 5

由于 $- 4$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $- 4$ 移到积分外。

$4 (\frac{1}{5} t^{5} + C) - 4 \int t^{2} d t + \int d t$

解题步骤 6

根据幂法则， $t^{2}$ 对 $t$ 的积分是 $\frac{1}{3} t^{3}$ 。

$4 (\frac{1}{5} t^{5} + C) - 4 (\frac{1}{3} t^{3} + C) + \int d t$

解题步骤 7

应用常数不变法则。

$4 (\frac{1}{5} t^{5} + C) - 4 (\frac{1}{3} t^{3} + C) + t + C$

解题步骤 8

化简。

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解题步骤 8.1

化简。

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解题步骤 8.1.1

组合 $\frac{1}{5}$ 和 $t^{5}$ 。

$4 (\frac{t^{5}}{5} + C) - 4 (\frac{1}{3} t^{3} + C) + t + C$

解题步骤 8.1.2

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $t^{3}$ 。

$4 (\frac{t^{5}}{5} + C) - 4 (\frac{t^{3}}{3} + C) + t + C$

解题步骤 8.2

化简。

$\frac{4 t^{5}}{5} - \frac{4 t^{3}}{3} + t + C$

解题步骤 9

重新排序项。

$\frac{4}{5} t^{5} - \frac{4}{3} t^{3} + t + C$

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