微积分学示例

$\frac{(x + 2) (2 x - 5)}{x}$

解题步骤 1

运用分配律。

$\int \frac{x (2 x - 5) + 2 (2 x - 5)}{x} d x$

解题步骤 2

运用分配律。

$\int \frac{x (2 x) + x \cdot - 5 + 2 (2 x - 5)}{x} d x$

解题步骤 3

运用分配律。

$\int \frac{x (2 x) + x \cdot - 5 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 5}{x} d x$

解题步骤 4

通过交换进行化简。

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解题步骤 4.1

将 $x$ 和 $2$ 重新排序。

$\int \frac{2 \cdot x \cdot x + x \cdot - 5 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 5}{x} d x$

解题步骤 4.2

将 $x$ 和 $- 5$ 重新排序。

$\int \frac{2 \cdot x \cdot x - 5 \cdot x + 2 (2 x) + 2 \cdot - 5}{x} d x$

解题步骤 5

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int \frac{2 (x^{1} x) - 5 x + 2 \cdot 2 x + 2 \cdot - 5}{x} d x$

解题步骤 6

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int \frac{2 (x^{1} x^{1}) - 5 x + 2 \cdot 2 x + 2 \cdot - 5}{x} d x$

解题步骤 7

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int \frac{2 x^{1 + 1} - 5 x + 2 \cdot 2 x + 2 \cdot - 5}{x} d x$

解题步骤 8

化简表达式。

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解题步骤 8.1

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\int \frac{2 x^{2} - 5 x + 2 \cdot 2 x + 2 \cdot - 5}{x} d x$

解题步骤 8.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\int \frac{2 x^{2} - 5 x + 4 x + 2 \cdot - 5}{x} d x$

解题步骤 8.3

将 $2$ 乘以 $- 5$ 。

$\int \frac{2 x^{2} - 5 x + 4 x - 10}{x} d x$

解题步骤 9

将 $- 5 x$ 和 $4 x$ 相加。

$\int \frac{2 x^{2} - x - 10}{x} d x$

解题步骤 10

用 $2 x^{2} - x - 10$ 除以 $x$ 。

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解题步骤 10.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$x$

$0$

$2 x^{2}$

$x$

$10$

解题步骤 10.2

将被除数中的最高阶项 $2 x^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

					$2 x$
	$x$	+	$0$		$2 x^{2}$	-	$x$	-	$10$

解题步骤 10.3

将新的商式项乘以除数。

				$2 x$
$x$	+	$0$		$2 x^{2}$	-	$x$	-	$10$
			+	$2 x^{2}$	+	$0$

解题步骤 10.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $2 x^{2} + 0$ 中的所有符号

				$2 x$
$x$	+	$0$		$2 x^{2}$	-	$x$	-	$10$
			-	$2 x^{2}$	-	$0$

解题步骤 10.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$2 x$
$x$	+	$0$		$2 x^{2}$	-	$x$	-	$10$
			-	$2 x^{2}$	-	$0$
					-	$x$

解题步骤 10.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$2 x$
$x$	+	$0$		$2 x^{2}$	-	$x$	-	$10$
			-	$2 x^{2}$	-	$0$
					-	$x$	-	$10$

解题步骤 10.7

将被除数中的最高阶项 $- x$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

				$2 x$	-	$1$
$x$	+	$0$		$2 x^{2}$	-	$x$	-	$10$
			-	$2 x^{2}$	-	$0$
					-	$x$	-	$10$

解题步骤 10.8

将新的商式项乘以除数。

				$2 x$	-	$1$
$x$	+	$0$		$2 x^{2}$	-	$x$	-	$10$
			-	$2 x^{2}$	-	$0$
					-	$x$	-	$10$
					-	$x$	+	$0$

解题步骤 10.9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- x + 0$ 中的所有符号

				$2 x$	-	$1$
$x$	+	$0$		$2 x^{2}$	-	$x$	-	$10$
			-	$2 x^{2}$	-	$0$
					-	$x$	-	$10$
					+	$x$	-	$0$

解题步骤 10.10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$2 x$	-	$1$
$x$	+	$0$		$2 x^{2}$	-	$x$	-	$10$
			-	$2 x^{2}$	-	$0$
					-	$x$	-	$10$
					+	$x$	-	$0$
							-	$10$

解题步骤 10.11

最终答案为商加上余数除以除数。

$\int 2 x - 1 - \frac{10}{x} d x$

解题步骤 11

将单个积分拆分为多个积分。

$\int 2 x d x + \int - 1 d x + \int - \frac{10}{x} d x$

解题步骤 12

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$2 \int x d x + \int - 1 d x + \int - \frac{10}{x} d x$

解题步骤 13

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - 1 d x + \int - \frac{10}{x} d x$

解题步骤 14

应用常数不变法则。

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - x + C + \int - \frac{10}{x} d x$

解题步骤 15

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$2 (\frac{x^{2}}{2} + C) - x + C + \int - \frac{10}{x} d x$

解题步骤 16

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$2 (\frac{x^{2}}{2} + C) - x + C - \int \frac{10}{x} d x$

解题步骤 17

由于 $10$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $10$ 移到积分外。

$2 (\frac{x^{2}}{2} + C) - x + C - (10 \int \frac{1}{x} d x)$

解题步骤 18

将 $10$ 乘以 $- 1$ 。

$2 (\frac{x^{2}}{2} + C) - x + C - 10 \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 19

$\frac{1}{x}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$2 (\frac{x^{2}}{2} + C) - x + C - 10 (\ln (| x |) + C)$

解题步骤 20

化简。

$x^{2} - x - 10 \ln (| x |) + C$

微积分学 示例

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