微积分学示例

$(4 x^{3} - \csc (2 x + 3) \cot (2 x + 3) - \sqrt[5]{6 - 5 x}) d x$

解题步骤 1

去掉圆括号。

$\int 4 x^{3} - \csc (2 x + 3) \cot (2 x + 3) - \sqrt[5]{6 - 5 x} d x$

解题步骤 2

将单个积分拆分为多个积分。

$\int 4 x^{3} d x + \int - \csc (2 x + 3) \cot (2 x + 3) d x + \int - \sqrt[5]{6 - 5 x} d x$

解题步骤 3

由于 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $4$ 移到积分外。

$4 \int x^{3} d x + \int - \csc (2 x + 3) \cot (2 x + 3) d x + \int - \sqrt[5]{6 - 5 x} d x$

解题步骤 4

根据幂法则， $x^{3}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{4} x^{4}$ 。

$4 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int - \csc (2 x + 3) \cot (2 x + 3) d x + \int - \sqrt[5]{6 - 5 x} d x$

解题步骤 5

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$4 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - \int \csc (2 x + 3) \cot (2 x + 3) d x + \int - \sqrt[5]{6 - 5 x} d x$

解题步骤 6

使 $u_{1} = 2 x + 3$ 。然后使 $d u_{1} = 2 d x$ ，以便 $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ 。使用 $u_{1}$ 和 $d$ $u_{1}$ 进行重写。

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解题步骤 6.1

设 $u_{1} = 2 x + 3$ 。求 $\frac{d u_{1}}{d x}$ 。

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解题步骤 6.1.1

对 $2 x + 3$ 求导。

$\frac{d}{d x} [2 x + 3]$

解题步骤 6.1.2

根据加法法则， $2 x + 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]$ 。

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 6.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [2 x]$ 。

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解题步骤 6.1.3.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 6.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 6.1.3.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2 + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 6.1.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 6.1.4.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$2 + 0$

解题步骤 6.1.4.2

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$2$

解题步骤 6.2

使用 $u_{1}$ 和 $d u_{1}$ 重写该问题。

$4 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - \int \csc (u_{1}) \cot (u_{1}) \frac{1}{2} d u_{1} + \int - \sqrt[5]{6 - 5 x} d x$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $x^{4}$ 。

$4 (\frac{x^{4}}{4} + C) - \int \csc (u_{1}) \cot (u_{1}) \frac{1}{2} d u_{1} + \int - \sqrt[5]{6 - 5 x} d x$

解题步骤 7.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $\csc (u_{1})$ 。

$4 (\frac{x^{4}}{4} + C) - \int \frac{\csc (u_{1})}{2} \cot (u_{1}) d u_{1} + \int - \sqrt[5]{6 - 5 x} d x$

解题步骤 7.3

组合 $\frac{\csc (u_{1})}{2}$ 和 $\cot (u_{1})$ 。

$4 (\frac{x^{4}}{4} + C) - \int \frac{\csc (u_{1}) \cot (u_{1})}{2} d u_{1} + \int - \sqrt[5]{6 - 5 x} d x$

解题步骤 8

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$4 (\frac{x^{4}}{4} + C) - (\frac{1}{2} \int \csc (u_{1}) \cot (u_{1}) d u_{1}) + \int - \sqrt[5]{6 - 5 x} d x$

解题步骤 9

因为 $- \csc (u_{1})$ 的导数为 $\csc (u_{1}) \cot (u_{1})$ ，所以 $\csc (u_{1}) \cot (u_{1})$ 的积分为 $- \csc (u_{1})$ 。

$4 (\frac{x^{4}}{4} + C) - \frac{1}{2} (- \csc (u_{1}) + C) + \int - \sqrt[5]{6 - 5 x} d x$

解题步骤 10

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$4 (\frac{x^{4}}{4} + C) - \frac{1}{2} (- \csc (u_{1}) + C) - \int \sqrt[5]{6 - 5 x} d x$

解题步骤 11

使 $u_{2} = 6 - 5 x$ 。然后使 $d u_{2} = - 5 d x$ ，以便 $- \frac{1}{5} d u_{2} = d x$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 11.1

设 $u_{2} = 6 - 5 x$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d x}$ 。

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解题步骤 11.1.1

对 $6 - 5 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [6 - 5 x]$

解题步骤 11.1.2

求微分。

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解题步骤 11.1.2.1

根据加法法则， $6 - 5 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$ 。

$\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

解题步骤 11.1.2.2

因为 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $6$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

解题步骤 11.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ 。

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解题步骤 11.1.3.1

因为 $- 5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 5 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$0 - 5 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 11.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$0 - 5 \cdot 1$

解题步骤 11.1.3.3

将 $- 5$ 乘以 $1$ 。

$0 - 5$

解题步骤 11.1.4

从 $0$ 中减去 $5$ 。

$- 5$

解题步骤 11.2

使用 $u_{2}$ 和 $d u_{2}$ 重写该问题。

$4 (\frac{x^{4}}{4} + C) - \frac{1}{2} (- \csc (u_{1}) + C) - \int \sqrt[5]{u_{2}} \frac{1}{- 5} d u_{2}$

解题步骤 12

化简。

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解题步骤 12.1

将负号移到分数的前面。

$4 (\frac{x^{4}}{4} + C) - \frac{1}{2} (- \csc (u_{1}) + C) - \int \sqrt[5]{u_{2}} (- \frac{1}{5}) d u_{2}$

解题步骤 12.2

组合 $\sqrt[5]{u_{2}}$ 和 $\frac{1}{5}$ 。

$4 (\frac{x^{4}}{4} + C) - \frac{1}{2} (- \csc (u_{1}) + C) - \int - \frac{\sqrt[5]{u_{2}}}{5} d u_{2}$

解题步骤 13

由于 $- 1$ 对于 $u_{2}$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$4 (\frac{x^{4}}{4} + C) - \frac{1}{2} (- \csc (u_{1}) + C) - - \int \frac{\sqrt[5]{u_{2}}}{5} d u_{2}$

解题步骤 14

化简。

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解题步骤 14.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$4 (\frac{x^{4}}{4} + C) - \frac{1}{2} (- \csc (u_{1}) + C) + 1 \int \frac{\sqrt[5]{u_{2}}}{5} d u_{2}$

解题步骤 14.2

将 $\int \frac{\sqrt[5]{u_{2}}}{5} d u_{2}$ 乘以 $1$ 。

$4 (\frac{x^{4}}{4} + C) - \frac{1}{2} (- \csc (u_{1}) + C) + \int \frac{\sqrt[5]{u_{2}}}{5} d u_{2}$

解题步骤 15

由于 $\frac{1}{5}$ 对于 $u_{2}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{5}$ 移到积分外。

$4 (\frac{x^{4}}{4} + C) - \frac{1}{2} (- \csc (u_{1}) + C) + \frac{1}{5} \int \sqrt[5]{u_{2}} d u_{2}$

解题步骤 16

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[5]{u_{2}}$ 重写成 ${u_{2}}^{\frac{1}{5}}$ 。

$4 (\frac{x^{4}}{4} + C) - \frac{1}{2} (- \csc (u_{1}) + C) + \frac{1}{5} \int {u_{2}}^{\frac{1}{5}} d u_{2}$

解题步骤 17

根据幂法则， ${u_{2}}^{\frac{1}{5}}$ 对 $u_{2}$ 的积分是 $\frac{5}{6} {u_{2}}^{\frac{6}{5}}$ 。

$4 (\frac{x^{4}}{4} + C) - \frac{1}{2} (- \csc (u_{1}) + C) + \frac{1}{5} (\frac{5}{6} {u_{2}}^{\frac{6}{5}} + C)$

解题步骤 18

化简。

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解题步骤 18.1

化简。

$x^{4} + \frac{\csc (u_{1})}{2} + \frac{1}{5} (\frac{5}{6} {u_{2}}^{\frac{6}{5}}) + C$

解题步骤 18.2

化简。

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解题步骤 18.2.1

组合 $\frac{5}{6}$ 和 ${u_{2}}^{\frac{6}{5}}$ 。

$x^{4} + \frac{\csc (u_{1})}{2} + \frac{1}{5} \cdot \frac{5 {u_{2}}^{\frac{6}{5}}}{6} + C$

解题步骤 18.2.2

将 $\frac{1}{5}$ 乘以 $\frac{5 {u_{2}}^{\frac{6}{5}}}{6}$ 。

$x^{4} + \frac{\csc (u_{1})}{2} + \frac{5 {u_{2}}^{\frac{6}{5}}}{5 \cdot 6} + C$

解题步骤 18.2.3

将 $5$ 乘以 $6$ 。

$x^{4} + \frac{\csc (u_{1})}{2} + \frac{5 {u_{2}}^{\frac{6}{5}}}{30} + C$

解题步骤 18.2.4

从 $5 {u_{2}}^{\frac{6}{5}}$ 中分解出因数 $5$ 。

$x^{4} + \frac{\csc (u_{1})}{2} + \frac{5 ({u_{2}}^{\frac{6}{5}})}{30} + C$

解题步骤 18.2.5

约去公因数。

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解题步骤 18.2.5.1

从 $30$ 中分解出因数 $5$ 。

$x^{4} + \frac{\csc (u_{1})}{2} + \frac{5 {u_{2}}^{\frac{6}{5}}}{5 \cdot 6} + C$

解题步骤 18.2.5.2

约去公因数。

$x^{4} + \frac{\csc (u_{1})}{2} + \frac{5 {u_{2}}^{\frac{6}{5}}}{5 \cdot 6} + C$

解题步骤 18.2.5.3

重写表达式。

$x^{4} + \frac{\csc (u_{1})}{2} + \frac{{u_{2}}^{\frac{6}{5}}}{6} + C$

解题步骤 19

代回替换每一个积分法替换变量。

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解题步骤 19.1

使用 $2 x + 3$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$x^{4} + \frac{\csc (2 x + 3)}{2} + \frac{{u_{2}}^{\frac{6}{5}}}{6} + C$

解题步骤 19.2

使用 $6 - 5 x$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$x^{4} + \frac{\csc (2 x + 3)}{2} + \frac{{(6 - 5 x)}^{\frac{6}{5}}}{6} + C$

解题步骤 20

重新排序项。

$x^{4} + \frac{1}{2} \csc (2 x + 3) + \frac{1}{6} {(6 - 5 x)}^{\frac{6}{5}} + C$

微积分学 示例

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