微积分学示例

$(x^{3} + x^{2}) v (\frac{5 x^{4}}{2} + \frac{10 x^{3}}{3})$

解题步骤 1

由于 $v$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $v$ 移到积分外。

$v \int (x^{3} + x^{2}) (\frac{5 x^{4}}{2} + \frac{10 x^{3}}{3}) d x$

解题步骤 2

化简。

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解题步骤 2.1

运用分配律。

$v \int x^{3} (\frac{5 x^{4}}{2} + \frac{10 x^{3}}{3}) + x^{2} (\frac{5 x^{4}}{2} + \frac{10 x^{3}}{3}) d x$

解题步骤 2.2

运用分配律。

$v \int x^{3} \frac{5 x^{4}}{2} + x^{3} \frac{10 x^{3}}{3} + x^{2} (\frac{5 x^{4}}{2} + \frac{10 x^{3}}{3}) d x$

解题步骤 2.3

运用分配律。

$v \int x^{3} \frac{5 x^{4}}{2} + x^{3} \frac{10 x^{3}}{3} + x^{2} \frac{5 x^{4}}{2} + x^{2} \frac{10 x^{3}}{3} d x$

解题步骤 2.4

组合 $x^{3}$ 和 $\frac{5 x^{4}}{2}$ 。

$v \int \frac{x^{3} (5 x^{4})}{2} + x^{3} \frac{10 x^{3}}{3} + x^{2} \frac{5 x^{4}}{2} + x^{2} \frac{10 x^{3}}{3} d x$

解题步骤 2.5

组合 $x^{3}$ 和 $\frac{10 x^{3}}{3}$ 。

$v \int \frac{x^{3} (5 x^{4})}{2} + \frac{x^{3} (10 x^{3})}{3} + x^{2} \frac{5 x^{4}}{2} + x^{2} \frac{10 x^{3}}{3} d x$

解题步骤 2.6

组合 $x^{2}$ 和 $\frac{5 x^{4}}{2}$ 。

$v \int \frac{x^{3} (5 x^{4})}{2} + \frac{x^{3} (10 x^{3})}{3} + \frac{x^{2} (5 x^{4})}{2} + x^{2} \frac{10 x^{3}}{3} d x$

解题步骤 2.7

组合 $x^{2}$ 和 $\frac{10 x^{3}}{3}$ 。

$v \int \frac{x^{3} (5 x^{4})}{2} + \frac{x^{3} (10 x^{3})}{3} + \frac{x^{2} (5 x^{4})}{2} + \frac{x^{2} (10 x^{3})}{3} d x$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

通过指数相加将 $x^{3}$ 乘以 $x^{4}$ 。

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解题步骤 3.1.1

移动 $x^{4}$ 。

$v \int \frac{x^{4} x^{3} \cdot 5}{2} + \frac{x^{3} (10 x^{3})}{3} + \frac{x^{2} (5 x^{4})}{2} + \frac{x^{2} (10 x^{3})}{3} d x$

解题步骤 3.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$v \int \frac{x^{4 + 3} \cdot 5}{2} + \frac{x^{3} (10 x^{3})}{3} + \frac{x^{2} (5 x^{4})}{2} + \frac{x^{2} (10 x^{3})}{3} d x$

解题步骤 3.1.3

将 $4$ 和 $3$ 相加。

$v \int \frac{x^{7} \cdot 5}{2} + \frac{x^{3} (10 x^{3})}{3} + \frac{x^{2} (5 x^{4})}{2} + \frac{x^{2} (10 x^{3})}{3} d x$

解题步骤 3.2

将 $5$ 移到 $x^{7}$ 的左侧。

$v \int \frac{5 \cdot x^{7}}{2} + \frac{x^{3} (10 x^{3})}{3} + \frac{x^{2} (5 x^{4})}{2} + \frac{x^{2} (10 x^{3})}{3} d x$

解题步骤 3.3

通过指数相加将 $x^{3}$ 乘以 $x^{3}$ 。

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解题步骤 3.3.1

移动 $x^{3}$ 。

$v \int \frac{5 x^{7}}{2} + \frac{x^{3} x^{3} \cdot 10}{3} + \frac{x^{2} (5 x^{4})}{2} + \frac{x^{2} (10 x^{3})}{3} d x$

解题步骤 3.3.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$v \int \frac{5 x^{7}}{2} + \frac{x^{3 + 3} \cdot 10}{3} + \frac{x^{2} (5 x^{4})}{2} + \frac{x^{2} (10 x^{3})}{3} d x$

解题步骤 3.3.3

将 $3$ 和 $3$ 相加。

$v \int \frac{5 x^{7}}{2} + \frac{x^{6} \cdot 10}{3} + \frac{x^{2} (5 x^{4})}{2} + \frac{x^{2} (10 x^{3})}{3} d x$

解题步骤 3.4

将 $10$ 移到 $x^{6}$ 的左侧。

$v \int \frac{5 x^{7}}{2} + \frac{10 \cdot x^{6}}{3} + \frac{x^{2} (5 x^{4})}{2} + \frac{x^{2} (10 x^{3})}{3} d x$

解题步骤 3.5

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{4}$ 。

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解题步骤 3.5.1

移动 $x^{4}$ 。

$v \int \frac{5 x^{7}}{2} + \frac{10 x^{6}}{3} + \frac{x^{4} x^{2} \cdot 5}{2} + \frac{x^{2} (10 x^{3})}{3} d x$

解题步骤 3.5.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$v \int \frac{5 x^{7}}{2} + \frac{10 x^{6}}{3} + \frac{x^{4 + 2} \cdot 5}{2} + \frac{x^{2} (10 x^{3})}{3} d x$

解题步骤 3.5.3

将 $4$ 和 $2$ 相加。

$v \int \frac{5 x^{7}}{2} + \frac{10 x^{6}}{3} + \frac{x^{6} \cdot 5}{2} + \frac{x^{2} (10 x^{3})}{3} d x$

解题步骤 3.6

将 $5$ 移到 $x^{6}$ 的左侧。

$v \int \frac{5 x^{7}}{2} + \frac{10 x^{6}}{3} + \frac{5 \cdot x^{6}}{2} + \frac{x^{2} (10 x^{3})}{3} d x$

解题步骤 3.7

要将 $\frac{10 x^{6}}{3}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$v \int \frac{5 x^{7}}{2} + \frac{10 x^{6}}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{5 x^{6}}{2} + \frac{x^{2} (10 x^{3})}{3} d x$

解题步骤 3.8

要将 $\frac{5 x^{6}}{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$v \int \frac{5 x^{7}}{2} + \frac{10 x^{6}}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{5 x^{6}}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{x^{2} (10 x^{3})}{3} d x$

解题步骤 3.9

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $6$ 的形式。

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解题步骤 3.9.1

将 $\frac{10 x^{6}}{3}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$v \int \frac{5 x^{7}}{2} + \frac{10 x^{6} \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{5 x^{6}}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{x^{2} (10 x^{3})}{3} d x$

解题步骤 3.9.2

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$v \int \frac{5 x^{7}}{2} + \frac{10 x^{6} \cdot 2}{6} + \frac{5 x^{6}}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{x^{2} (10 x^{3})}{3} d x$

解题步骤 3.9.3

将 $\frac{5 x^{6}}{2}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$v \int \frac{5 x^{7}}{2} + \frac{10 x^{6} \cdot 2}{6} + \frac{5 x^{6} \cdot 3}{2 \cdot 3} + \frac{x^{2} (10 x^{3})}{3} d x$

解题步骤 3.9.4

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$v \int \frac{5 x^{7}}{2} + \frac{10 x^{6} \cdot 2}{6} + \frac{5 x^{6} \cdot 3}{6} + \frac{x^{2} (10 x^{3})}{3} d x$

解题步骤 3.10

在公分母上合并分子。

$v \int \frac{5 x^{7}}{2} + \frac{10 x^{6} \cdot 2 + 5 x^{6} \cdot 3}{6} + \frac{x^{2} (10 x^{3})}{3} d x$

解题步骤 3.11

将 $2$ 乘以 $10$ 。

$v \int \frac{5 x^{7}}{2} + \frac{20 x^{6} + 5 x^{6} \cdot 3}{6} + \frac{x^{2} (10 x^{3})}{3} d x$

解题步骤 3.12

将 $3$ 乘以 $5$ 。

$v \int \frac{5 x^{7}}{2} + \frac{20 x^{6} + 15 x^{6}}{6} + \frac{x^{2} (10 x^{3})}{3} d x$

解题步骤 3.13

将 $20 x^{6}$ 和 $15 x^{6}$ 相加。

$v \int \frac{5 x^{7}}{2} + \frac{35 x^{6}}{6} + \frac{x^{2} (10 x^{3})}{3} d x$

解题步骤 3.14

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{3}$ 。

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解题步骤 3.14.1

移动 $x^{3}$ 。

$v \int \frac{5 x^{7}}{2} + \frac{35 x^{6}}{6} + \frac{x^{3} x^{2} \cdot 10}{3} d x$

解题步骤 3.14.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$v \int \frac{5 x^{7}}{2} + \frac{35 x^{6}}{6} + \frac{x^{3 + 2} \cdot 10}{3} d x$

解题步骤 3.14.3

将 $3$ 和 $2$ 相加。

$v \int \frac{5 x^{7}}{2} + \frac{35 x^{6}}{6} + \frac{x^{5} \cdot 10}{3} d x$

解题步骤 3.15

将 $10$ 移到 $x^{5}$ 的左侧。

$v \int \frac{5 x^{7}}{2} + \frac{35 x^{6}}{6} + \frac{10 x^{5}}{3} d x$

解题步骤 4

将单个积分拆分为多个积分。

$v (\int \frac{5 x^{7}}{2} d x + \int \frac{35 x^{6}}{6} d x + \int \frac{10 x^{5}}{3} d x)$

解题步骤 5

由于 $\frac{5}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{5}{2}$ 移到积分外。

$v (\frac{5}{2} \int x^{7} d x + \int \frac{35 x^{6}}{6} d x + \int \frac{10 x^{5}}{3} d x)$

解题步骤 6

根据幂法则， $x^{7}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{8} x^{8}$ 。

$v (\frac{5}{2} (\frac{1}{8} x^{8} + C) + \int \frac{35 x^{6}}{6} d x + \int \frac{10 x^{5}}{3} d x)$

解题步骤 7

组合 $\frac{1}{8}$ 和 $x^{8}$ 。

$v (\frac{5}{2} (\frac{x^{8}}{8} + C) + \int \frac{35 x^{6}}{6} d x + \int \frac{10 x^{5}}{3} d x)$

解题步骤 8

由于 $\frac{35}{6}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{35}{6}$ 移到积分外。

$v (\frac{5}{2} (\frac{x^{8}}{8} + C) + \frac{35}{6} \int x^{6} d x + \int \frac{10 x^{5}}{3} d x)$

解题步骤 9

根据幂法则， $x^{6}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{7} x^{7}$ 。

$v (\frac{5}{2} (\frac{x^{8}}{8} + C) + \frac{35}{6} (\frac{1}{7} x^{7} + C) + \int \frac{10 x^{5}}{3} d x)$

解题步骤 10

组合 $\frac{1}{7}$ 和 $x^{7}$ 。

$v (\frac{5}{2} (\frac{x^{8}}{8} + C) + \frac{35}{6} (\frac{x^{7}}{7} + C) + \int \frac{10 x^{5}}{3} d x)$

解题步骤 11

由于 $\frac{10}{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{10}{3}$ 移到积分外。

$v (\frac{5}{2} (\frac{x^{8}}{8} + C) + \frac{35}{6} (\frac{x^{7}}{7} + C) + \frac{10}{3} \int x^{5} d x)$

解题步骤 12

根据幂法则， $x^{5}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{6} x^{6}$ 。

$v (\frac{5}{2} (\frac{x^{8}}{8} + C) + \frac{35}{6} (\frac{x^{7}}{7} + C) + \frac{10}{3} (\frac{1}{6} x^{6} + C))$

解题步骤 13

化简。

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解题步骤 13.1

组合 $\frac{1}{6}$ 和 $x^{6}$ 。

$v (\frac{5}{2} (\frac{x^{8}}{8} + C) + \frac{35}{6} (\frac{x^{7}}{7} + C) + \frac{10}{3} (\frac{x^{6}}{6} + C))$

解题步骤 13.2

化简。

$v (\frac{5 x^{8}}{16} + \frac{5 x^{7}}{6} + \frac{5 x^{6}}{9}) + C$

解题步骤 13.3

重新排序项。

$v (\frac{5}{16} x^{8} + \frac{5}{6} x^{7} + \frac{5}{9} x^{6}) + C$

微积分学 示例

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