微积分学示例

$z \ln (x^{2} y \cos (z))$

解题步骤 1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d z} [f (z) g (z)]$ 等于 $f (z) \frac{d}{d z} [g (z)] + g (z) \frac{d}{d z} [f (z)]$ ，其中 $f (z) = z$ 且 $g (z) = \ln (x^{2} y \cos (z))$ 。

$z \frac{d}{d z} [\ln (x^{2} y \cos (z))] + \ln (x^{2} y \cos (z)) \frac{d}{d z} [z]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d z} [f (g (z))]$ 等于 $f' (g (z)) g' (z)$ ，其中 $f (z) = \ln (z)$ 且 $g (z) = x^{2} y \cos (z)$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2} y \cos (z)$ 。

$z (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d z} [x^{2} y \cos (z)]) + \ln (x^{2} y \cos (z)) \frac{d}{d z} [z]$

解题步骤 2.2

$\ln (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{u}$ 。

$z (\frac{1}{u} \frac{d}{d z} [x^{2} y \cos (z)]) + \ln (x^{2} y \cos (z)) \frac{d}{d z} [z]$

解题步骤 2.3

使用 $x^{2} y \cos (z)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$z (\frac{1}{x^{2} y \cos (z)} \frac{d}{d z} [x^{2} y \cos (z)]) + \ln (x^{2} y \cos (z)) \frac{d}{d z} [z]$

解题步骤 3

使用常数相乘法则求微分。

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解题步骤 3.1

组合 $\frac{1}{x^{2} y \cos (z)}$ 和 $z$ 。

$\frac{z}{x^{2} y \cos (z)} \frac{d}{d z} [x^{2} y \cos (z)] + \ln (x^{2} y \cos (z)) \frac{d}{d z} [z]$

解题步骤 3.2

因为 $x^{2} y$ 对于 $z$ 是常数，所以 $x^{2} y \cos (z)$ 对 $z$ 的导数是 $x^{2} y \frac{d}{d z} [\cos (z)]$ 。

$\frac{z}{x^{2} y \cos (z)} (x^{2} y \frac{d}{d z} [\cos (z)]) + \ln (x^{2} y \cos (z)) \frac{d}{d z} [z]$

解题步骤 3.3

化简项。

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解题步骤 3.3.1

组合 $x^{2}$ 和 $\frac{z}{x^{2} y \cos (z)}$ 。

$\frac{x^{2} z}{x^{2} y \cos (z)} (y \frac{d}{d z} [\cos (z)]) + \ln (x^{2} y \cos (z)) \frac{d}{d z} [z]$

解题步骤 3.3.2

组合 $y$ 和 $\frac{x^{2} z}{x^{2} y \cos (z)}$ 。

$\frac{y (x^{2} z)}{x^{2} y \cos (z)} \frac{d}{d z} [\cos (z)] + \ln (x^{2} y \cos (z)) \frac{d}{d z} [z]$

解题步骤 3.3.3

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.3.1

约去公因数。

$\frac{y x^{2} z}{x^{2} y \cos (z)} \frac{d}{d z} [\cos (z)] + \ln (x^{2} y \cos (z)) \frac{d}{d z} [z]$

解题步骤 3.3.3.2

重写表达式。

$\frac{x^{2} z}{x^{2} \cos (z)} \frac{d}{d z} [\cos (z)] + \ln (x^{2} y \cos (z)) \frac{d}{d z} [z]$

解题步骤 3.3.4

约去 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.4.1

约去公因数。

$\frac{x^{2} z}{x^{2} \cos (z)} \frac{d}{d z} [\cos (z)] + \ln (x^{2} y \cos (z)) \frac{d}{d z} [z]$

解题步骤 3.3.4.2

重写表达式。

$\frac{z}{\cos (z)} \frac{d}{d z} [\cos (z)] + \ln (x^{2} y \cos (z)) \frac{d}{d z} [z]$

解题步骤 4

$\cos (z)$ 对 $z$ 的导数为 $- \sin (z)$ 。

$\frac{z}{\cos (z)} (- \sin (z)) + \ln (x^{2} y \cos (z)) \frac{d}{d z} [z]$

解题步骤 5

组合 $\frac{z}{\cos (z)}$ 和 $\sin (z)$ 。

$- \frac{z \sin (z)}{\cos (z)} + \ln (x^{2} y \cos (z)) \frac{d}{d z} [z]$

解题步骤 6

将 $\frac{z \sin (z)}{\cos (z)}$ 转换成 $z \tan (z)$ 。

$- (z \tan (z)) + \ln (x^{2} y \cos (z)) \frac{d}{d z} [z]$

解题步骤 7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ 等于 $n z^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- z \tan (z) + \ln (x^{2} y \cos (z)) \cdot 1$

解题步骤 8

将 $\ln (x^{2} y \cos (z))$ 乘以 $1$ 。

$- z \tan (z) + \ln (x^{2} y \cos (z))$

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